Uma suspensão aquosa de caulim a
apresentou as seguintes velocidades de sedimentação,
, a diferentes concentrações de sólido,
:
a) Determinar, por extrapolação dos dados, a velocidade de sedimentação das partículas de caulim à diluição infinita,
.
b) Determinar o diâmetro médio de Stokes,
, das partículas de caulim através da fórmula de Stokes:
Onde:
viscosidade do fluido
densidade da partícula sólida
densidade do fluido
g = aceleração da gravidade
b) Determinar o diâmetro médio de Stokes,
g = aceleração da gravidade
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar, por extrapolação dos dados, a velocidade de sedimentação das partículas de caulim à diluição infinita,
. - (b) Determinar o diâmetro médio de Stokes das partículas,
, usando a fórmula de Stokes
Dados fornecidos (peguei estes pares diretamente do enunciado):
Observação sobre os dados: no enunciado aparece um valor isolado ``4,5’’ após a tabela; não está claro a que se refere. Vou ignorá‑lo porque já temos seis pares coerentes
e eles são suficientes para a extrapolação.
Passo 2
Estratégia para (a) (explicação passo a passo do método que vou aplicar):
- Para obter
(velocidade quando a concentração tende a zero) vou ajustar uma reta aos dados experimentais do tipo
onde
é o intercepto em
e, portanto,
. Justificativa simples: em concentrações baixas o efeito de bloqueio costuma variar de maneira aproximadamente linear com
, então extrapolar linearmente é um procedimento comum e simples para obter
.
- Vou usar o método dos mínimos quadrados (regressão linear) para encontrar os coeficientes
(inclinação) e (intercepto). A fórmula para a regressão linear (com pontos ) é:
Aqui
tem unidade
e
tem unidade
.
Passo 3
Calcular as somas necessárias (vou mostrar cada soma para você poder conferir):
- Número de pontos:
. - Soma das concentrações:
- Soma das velocidades:
- Soma dos quadrados das concentrações:
- Soma dos produtos
:
Passo 4
Aplicar as fórmulas da regressão para encontrar
e
.
- Primeiro calcule o denominador comum
- Agora a inclinação
:
(Isto significa que a velocidade diminui aproximadamente
por cada unidade
de aumento de
.)
- Intercepto
(que é ):
Portanto, pela regressão linear obtemos
Passo 5
Converter
para unidades compatíveis com a fórmula de Stokes (usarei CGS:
):
Passo 6
Explicar a fórmula de Stokes e as unidades que vou usar:
- A fórmula dada é
Explicação das grandezas:
-
é a viscosidade dinâmica do fluido (no sistema CGS: , que é numericamente igual a poise). -
é a densidade da partícula sólida ( ). -
é a densidade do fluido ( ). -
é a aceleração da gravidade (no sistema CGS usaremos ). - Como o enunciado não fornece
, e , escolho valores típicos e os declaro (não poderia pedir informação adicional): - Para água a
: (isto é poise). - Densidade do fluido:
(aproximação usual para água). - Densidade do caulim (valor típico):
. -
.
- Para água a
- Observação: se você tiver valores levemente diferentes (por exemplo
ou ), o resultado muda pouco; aqui uso valores arredondados e comuns em exercícios.
Passo 7
Calcular
com os valores escolhidos, mostrando as contas:
- Primeiro calcule o numerador
:
- Depois o denominador
:
- Agora a fração:
- Raiz quadrada para obter o diâmetro:
- Converter para micrómetros (
):
Passo 8
Interpretação breve e incentivo:
- Resultado: a extrapolação linear deu uma velocidade de diluição infinita relativamente alta (
), e a aplicação da lei de Stokes com valores típicos para água e caulim fornece um diâmetro médio de Stokes da ordem de algumas dezenas de micrômetros ( ). - Nota importante: partículas de caulim reais costumam ser menores (muitos são submicrométricos), então esse valor sugere que o que sedimentou experimentalmente pode ser agregado — ou que a suposição de esferas rígidas e regime de Stokes ideal pode não se aplicar perfeitamente. Mesmo assim, o procedimento numérico e a técnica de extrapolação são os mesmos que você usaria na prova. Vai dar certo — respira, repassa os passos e pratica mais um exemplo que você pega e ajusta uma reta rápida.