Uma suspensão aquosa de caulim a 25^{\circ} \mathrm{C} apresentou as seguintes velocidades de sedimentação, v, a diferentes concentrações de sólido, c :
\begin{gathered} c\left(\mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right) \\\\ 0,056 \end{gathered} \quad 0,083 \quad 0,147 \quad 0,193 \quad 0,218 \quad 0,226 ~=v(\mathrm{~cm} / \mathrm{min}) \quad 4,22 \quad 3,37 \quad 2,27 \quad 1,84 \quad 1,55 \quad 1,40 \quad 4.5
a) Determinar, por extrapolação dos dados, a velocidade de sedimentação das partículas de caulim à diluição infinita, \mathrm{V}_{\infty}.
b) Determinar o diâmetro médio de Stokes, \mathrm{d}_{\mathrm{st}}, das partículas de caulim através da fórmula de Stokes:
d_{\mathrm{St}}=\left[\frac{18 \mu v_{\infty}}{\left(\rho_{s}-\rho\right) g}\right]^{1 / 2}
Onde:
\mu= viscosidade do fluido
\rho_{\mathrm{s}}= densidade da partícula sólida
\rho= densidade do fluido
g = aceleração da gravidade

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar, por extrapolação dos dados, a velocidade de sedimentação das partículas de caulim à diluição infinita, v_{\infty}.
  • (b) Determinar o diâmetro médio de Stokes das partículas, d_{\mathrm{St}}, usando a fórmula de Stokes
d_{\mathrm{St}}=\left[\frac{18\,\mu\,v_{\infty}}{(\rho_{s}-\rho)\,g}\right]^{1/2}.
Dados fornecidos (peguei estes pares diretamente do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} c\;(\mathrm{g/cm^{3}}) & 0,056 & 0,083 & 0,147 & 0,193 & 0,218 & 0,226\\hline v\;(\mathrm{cm/min}) & 4,22 & 3,37 & 2,27 & 1,84 & 1,55 & 1,40 \end{array}
Observação sobre os dados: no enunciado aparece um valor isolado ``4,5’’ após a tabela; não está claro a que se refere. Vou ignorá‑lo porque já temos seis pares coerentes (c,v) e eles são suficientes para a extrapolação.

Passo 2

Estratégia para (a) (explicação passo a passo do método que vou aplicar):
  • Para obter v_{\infty} (velocidade quando a concentração tende a zero) vou ajustar uma reta aos dados experimentais do tipo
v = b + a\,c,
onde b é o intercepto em c=0 e, portanto, b = v_{\infty}. Justificativa simples: em concentrações baixas o efeito de bloqueio costuma variar de maneira aproximadamente linear com c, então extrapolar linearmente é um procedimento comum e simples para obter v_{\infty}.
  • Vou usar o método dos mínimos quadrados (regressão linear) para encontrar os coeficientes a (inclinação) e b (intercepto). A fórmula para a regressão linear (com n pontos (c_i,v_i)) é:
a=\frac{n\sum c_i v_i - \left(\sum c_i\right)\left(\sum v_i\right)}{n\sum c_i^2 - \left(\sum c_i\right)^2},
b=\frac{\sum v_i - a\sum c_i}{n}.
Aqui a tem unidade \mathrm{(cm/min)/(g/cm^3)} e b tem unidade \mathrm{cm/min}.

Passo 3

Calcular as somas necessárias (vou mostrar cada soma para você poder conferir):
  • Número de pontos: n=6.
  • Soma das concentrações:
\sum c_i = 0,056+0,083+0,147+0,193+0,218+0,226 = 0,923\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Soma das velocidades:
\sum v_i = 4,22+3,37+2,27+1,84+1,55+1,40 = 14,65\\ \mathrm{cm/min}.
  • Soma dos quadrados das concentrações:
\sum c_i^2 = 0,056^2+0,083^2+0,147^2+0,193^2+0,218^2+0,226^2 = 0,167483\\ (\mathrm{g/cm^{3}})^2.
  • Soma dos produtos c_i v_i:
\sum c_i v_i = 0,056\cdot4,22 + 0,083\cdot3,37 + 0,147\cdot2,27 + 0,193\cdot1,84 + 0,218\cdot1,55 + 0,226\cdot1,40 = 1,85914\\ \mathrm{(g/cm^{3})\cdot(cm/min)}.

Passo 4

Aplicar as fórmulas da regressão para encontrar a e b.
  • Primeiro calcule o denominador comum
D = n\sum c_i^2 - \left(\sum c_i\right)^2 = 6\cdot0,167483 - (0,923)^2 = 1,004898 - 0,852529 = 0,152369.
  • Agora a inclinação a:
a=\frac{n\sum c_i v_i - \left(\sum c_i\right)\left(\sum v_i\right)}{D} =\frac{6\cdot1,85914 - 0,923\cdot14,65}{0,152369} =\frac{11,15484 - 13,52195}{0,152369}=-\frac{2,36711}{0,152369}\approx -15,54.
(Isto significa que a velocidade diminui aproximadamente 15,54\\ \mathrm{cm/min} por cada unidade \mathrm{g/cm^{3}} de aumento de c.)
  • Intercepto b (que é v_{\infty}):
b=\frac{\sum v_i - a\sum c_i}{n}=\frac{14,65 - (-15,5386)\cdot0,923}{6}\approx 4,84\\ \mathrm{cm/min}.
Portanto, pela regressão linear obtemos
v_{\infty}\approx 4,84\\ \mathrm{cm/min}.

Passo 5

Converter v_{\infty} para unidades compatíveis com a fórmula de Stokes (usarei CGS: \mathrm{cm/s}):
v_{\infty} = 4,84\\ \mathrm{cm/min} = \frac{4,84}{60}\\ \mathrm{cm/s}\approx 0,0807\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Explicar a fórmula de Stokes e as unidades que vou usar:
  • A fórmula dada é
d_{\mathrm{St}}=\left[\frac{18\,\mu\,v_{\infty}}{(\rho_{s}-\rho)\,g}\right]^{1/2}.
Explicação das grandezas:
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (no sistema CGS: \mathrm{g/(cm\cdot s)}, que é numericamente igual a poise).
  • \rho_s é a densidade da partícula sólida ( \mathrm{g/cm^{3}}).
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{g/cm^{3}}).
  • g é a aceleração da gravidade (no sistema CGS usaremos g=980\\ \mathrm{cm/s^{2}}).
  • Como o enunciado não fornece \mu, \rho_s e \rho, escolho valores típicos e os declaro (não poderia pedir informação adicional):
    • Para água a 25^{\circ}\mathrm{C}: \mu=0,00890\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)} (isto é 0{,}00890 poise).
    • Densidade do fluido: \rho=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}} (aproximação usual para água).
    • Densidade do caulim (valor típico): \rho_{s}=2{,}60\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • g=980\\ \mathrm{cm/s^{2}}.
  • Observação: se você tiver valores levemente diferentes (por exemplo \rho=0{,}997\\ \mathrm{g/cm^{3}} ou \rho_s=2{,}65), o resultado muda pouco; aqui uso valores arredondados e comuns em exercícios.

Passo 7

Calcular d_{\mathrm{St}} com os valores escolhidos, mostrando as contas:
  • Primeiro calcule o numerador 18\,\mu\,v_{\infty}:
18\,\mu\,v_{\infty} = 18\cdot0,00890\cdot0,0807 \approx 0,1602\cdot0,0807 \approx 0,012918.
  • Depois o denominador (\rho_{s}-\rho)\,g:
(\rho_{s}-\rho)\,g = (2,60-1,00)\cdot980 = 1,60\cdot980 = 1568.
  • Agora a fração:
\frac{18\,\mu\,v_{\infty}}{(\rho_{s}-\rho)\,g} \approx \frac{0,012918}{1568} \approx 8,242\times10^{-6}\\ (\mathrm{cm^{2}}).
  • Raiz quadrada para obter o diâmetro:
d_{\mathrm{St}} = \sqrt{8,242\times10^{-6}}\\ \mathrm{cm} \approx 2,87\times10^{-3}\\ \mathrm{cm}.
  • Converter para micrómetros ( 1\\ \mathrm{cm}=10^{4}\\ \mu\mathrm{m}):
d_{\mathrm{St}} \approx 2,87\times10^{-3}\\ \mathrm{cm} = 2,87\times10^{-3}\cdot10^{4}\\ \mu\mathrm{m} \approx 28,7\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação breve e incentivo:
  • Resultado: a extrapolação linear deu uma velocidade de diluição infinita relativamente alta ( v_{\infty}\approx4,84\\ \mathrm{cm/min}), e a aplicação da lei de Stokes com valores típicos para água e caulim fornece um diâmetro médio de Stokes da ordem de algumas dezenas de micrômetros ( \approx28,7\\ \mu\mathrm{m}).
  • Nota importante: partículas de caulim reais costumam ser menores (muitos são submicrométricos), então esse valor sugere que o que sedimentou experimentalmente pode ser agregado — ou que a suposição de esferas rígidas e regime de Stokes ideal pode não se aplicar perfeitamente. Mesmo assim, o procedimento numérico e a técnica de extrapolação são os mesmos que você usaria na prova. Vai dar certo — respira, repassa os passos e pratica mais um exemplo que você pega e ajusta uma reta rápida.

Resposta

v_{\infty}\approx 4,84\\ \mathrm{cm/min}
d_{\mathrm{St}}\approx 2,87\times10^{-3}\\ \mathrm{cm} \approx 28,7\\ \mu\mathrm{m}

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