Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é pegar cada função primitiva dada e encontrar a equação diferencial correspondente. Para isso, vamos precisar usar derivadas, já que uma primitiva é basicamente a antiderivada de uma função. Também vamos precisar eliminar as constantes 
  e 
  para chegar na equação diferencial final.
Passo 2
a) 
Primeiro, vamos derivar 
  em relação a 
 :
Como 
  é uma constante, a segunda derivada será:
Então, a equação diferencial associada é:
Passo 3
b) 
Derivando 
  em relação a 
 :
A segunda derivada é:
A equação diferencial é a mesma que no item a):
Passo 4
c) 
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Agora, derivamos em relação a 
 :
A segunda derivada é:
Observamos que:
Então, a equação diferencial é:
Passo 5
d) 
Derivando 
  em relação a 
 :
A segunda derivada é:
Então, a equação diferencial é:
Passo 6
e) 
Usando a identidade trigonométrica:
Derivando em relação a 
 :
A segunda derivada é:
Então, a equação diferencial é:
Passo 7
f) 
Derivando 
  em relação a 
 :
A segunda derivada é:
Observamos que:
Então, a equação diferencial é:
Passo 8
g) 
Primeiro, vamos reescrever a função para expressar 
  em termos de 
 , mas isso pode ser complicado. Em vez disso, vamos diferenciar ambos os lados em relação a 
 :
Isolando 
 :
Para obter uma equação diferencial, podemos diferenciar novamente:
Então, a equação diferencial associada é mais complexa:
Passo 9
h) 
Primeiro, vamos resolver para 
 :
Derivando 
  em relação a 
 :
A segunda derivada:
Então, a equação diferencial é:
Resposta
As equações diferenciais associadas são:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h)