Resolva a equação da onda
 
sujeita às condições indicadas.
c) 
 
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação da onda que é dada por:
Temos também as condições de contorno e iniciais:
Vamos precisar usar a separação de variáveis e a série de Fourier para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende de 
 u(x, t) = X(x)T(t)    e outra de 
 :
Isso ajuda a separar as varições de espaço e tempo na equação.
Passo 3
Substituímos 
 a^2 X''(x)T(t) = X(x)T''(t)    na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por 
 , obtemos:
Aqui, 
  é uma constante de separação.
Passo 4
Resolvemos a equação espacial:
Com as condições de contorno 
 lambdaa^2 = (na)^2  para  n = 1, 2, 3, dots   , as soluções não triviais ocorrem quando:
Portanto, os autovalores são:
E os autovetores são:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação temporal para cada 
 T''(t) + lambdan a^2 T(t) = 0   :
Substituindo 
 Tn(t) = An cos(n t) + Bn sin(n t)   :
As soluções dessa equação são combinações de seno e cosseno:
Passo 6
A solução geral é uma soma das soluções separadas para todos os modos 
 u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n t) + Bn sin(n t) ] sin(n xa)   :
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes 
 0 = sumn=1^infty An sin(n xa)    e 
 .
Primeiro, 
 :
Isso implica que 
  para todos os 
 .
Passo 8
Agora, usamos a condição 
 partial upartial t|t=0 = sumn=1^infty Bn n cos(0) sin(n xa) = sumn=1^infty Bn n sin(n xa) = sin x   :
Para que isso seja válido para todo 
 , precisamos que 
  sejam os coeficientes de Fourier da função 
 .
Passo 9
Observamos que 
 B1 cdot 1 = 1  Rightarrow  B1 = 1    já é um modo da série quando 
 . Portanto, apenas o termo com 
  contribui:
E para 
 , 
 .
Resposta
A solução da equação da onda é: