1. Obter a equação N(v) d v=\frac{8 \pi v^{2} a^{3}}{c^{3}} d v, que dá o número de ondas eletromagnéticas estacionárias possíveis em cada intervalo de frequência, para o caso de uma cavidade tridimensional na forma de um cubo de paredes metálicas cujas arestas tem comprimento a. Usando a lei de equipartição clássica obtenha a fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro. (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) derivar o número de modos estacionários de frequência entre v e v+dv numa cavidade cúbica de aresta a, obtendo
N(v)\,dv = \frac{8\pi v^2 a^3}{c^3}\,dv,
e (ii) usar a lei de equipartição clássica para cada modo (energia média k_B T) e chegar à fórmula de Rayleigh–Jeans para a densidade espectral de energia de corpo negro.

Passo 2

Dentro da cavidade metálica as componentes do vetor de onda \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z) satisfazem
k_x=\frac{\pi n_x}{a},\quad k_y=\frac{\pi n_y}{a},\quad k_z=\frac{\pi n_z}{a},
com n_x,n_y,n_z\in\mathbb{N}^+. O número de estados com módulo de onda \le k é igual ao número de tripletas (n_x,n_y,n_z) dentro de um octante de esfera de raio k, dado por
N_k = \frac{1}{8}\,\frac{4\pi k^3}{3}\,\biggl(\frac{a}{\pi}\biggr)^3 = \frac{a^3\,k^3}{6\pi^2}.
Como cada modo tem duas polarizações, multiplicamos por 2:
N_k^{\rm total} = \frac{a^3\,k^3}{3\pi^2}.

Passo 3

Para obter o número de modos numa faixa k a k+dk fazemos
dN_k = \frac{d}{dk}\Bigl(\frac{a^3\,k^3}{3\pi^2}\Bigr)\,dk = \frac{a^3}{\pi^2}\,k^2\,dk.
Como k=2\pi v/c e dk=(2\pi/c)\,dv, substituindo em dN_k obtemos
N(v)\,dv = dN_k = \frac{a^3}{\pi^2}\,\Bigl(\frac{2\pi v}{c}\Bigr)^2\,\frac{2\pi}{c}\,dv = \frac{8\pi v^2 a^3}{c^3}\,dv.

Passo 4

Pela lei de equipartição clássica, cada modo independente de frequência v comporta, em média, energia
\langle E\rangle = k_B T.
Logo, a energia total em todos os modos entre v e v+dv é
dE = N(v)\,k_B T\,dv.

Passo 5

A densidade espectral de energia (energia por unidade de volume e por intervalo de frequência) é
u(v)\,dv = \frac{dE}{\text{volume}} = \frac{N(v)\,k_B T\,dv}{a^3} = \frac{8\pi v^2}{c^3}\,k_B T\,dv.
Esta é exatamente a lei de Rayleigh–Jeans para corpo negro.

Resposta

N(v)\,dv = \frac{8\pi v^2 a^3}{c^3}\,dv, \qquad u(v)\,dv = \frac{8\pi v^2 k_B T}{c^3}\,dv.

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