- Obter a equação
, que dá o número de ondas eletromagnéticas estacionárias possíveis em cada intervalo de frequência, para o caso de uma cavidade tridimensional na forma de um cubo de paredes metálicas cujas arestas tem comprimento
. Usando a lei de equipartição clássica obtenha a fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro. (1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) derivar o número de modos estacionários de frequência entre
e
numa cavidade cúbica de aresta
, obtendo
e (ii) usar a lei de equipartição clássica para cada modo (energia média
) e chegar à fórmula de Rayleigh–Jeans para a densidade espectral de energia de corpo negro.
Passo 2
Dentro da cavidade metálica as componentes do vetor de onda
satisfazem
com
. O número de estados com módulo de onda
é igual ao número de tripletas
dentro de um octante de esfera de raio
, dado por
Como cada modo tem duas polarizações, multiplicamos por 2:
Passo 3
Para obter o número de modos numa faixa
a
fazemos
Como
e
, substituindo em
obtemos
Passo 4
Pela lei de equipartição clássica, cada modo independente de frequência
comporta, em média, energia
Logo, a energia total em todos os modos entre
e
é
Passo 5
A densidade espectral de energia (energia por unidade de volume e por intervalo de frequência) é
Esta é exatamente a lei de Rayleigh–Jeans para corpo negro.