- Obter a expressão de Planck para a energia média
e também para o espectro de corpo negro. Verifique se a energia média obtida por Planck está de acordo com os resultados experimentais. ( 1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que a gente consiga (a) a energia média
de um oscilador eletromagnético quantizado à frequência
em equilíbrio térmico à temperatura
, e (b) o espectro de corpo negro, isto é, a densidade de energia por unidade de frequência
. Para isso, vamos aplicar estatística de Boltzmann a níveis de energia discretos
e depois multiplicar a energia média por densidade de modos do campo eletromagnético em cavidade.
Passo 2
Definimos o parâmetro
e o partição canônico
Passo 3
A energia média de um oscilador é
Calculando:
Logo
Passo 4
Portanto a expressão de Planck para a energia média de um modo de frequência
é
Passo 5
Para obter o espectro de corpo negro, multiplicamos
pelo número de modos por volume num intervalo
, que vale
Logo a densidade espectral de energia é
Passo 6
Em altas temperaturas
a expansão
leva a
recuperando o teorema de equipartição e o resultado de Rayleigh–Jeans, sem divergência. Em frequências elevadas
aparece o decaimento exponencial que evita a catástrofe ultravioleta. Isso concorda exatamente com os dados experimentais de corpo negro, que mostram um pico em frequência finita e decaem para altas
.
Resposta
Ambas as fórmulas reproduzem corretamente os resultados experimentais e resolvem a catástrofe ultravioleta.