1. Obter a expressão de Planck para a energia média \varepsilon e também para o espectro de corpo negro. Verifique se a energia média obtida por Planck está de acordo com os resultados experimentais. ( 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que a gente consiga (a) a energia média \varepsilon de um oscilador eletromagnético quantizado à frequência \nu em equilíbrio térmico à temperatura T, e (b) o espectro de corpo negro, isto é, a densidade de energia por unidade de frequência u(\nu). Para isso, vamos aplicar estatística de Boltzmann a níveis de energia discretos \varepsilon_n = n\,h\nu e depois multiplicar a energia média por densidade de modos do campo eletromagnético em cavidade.

Passo 2

Definimos o parâmetro \beta = 1/(kT) e o partição canônico
Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta\,\varepsilon_n} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta\,n\,h\nu} = \frac{1}{1 - e^{-\beta\,h\nu}}.

Passo 3

A energia média de um oscilador é
\langle \varepsilon\rangle \;=\; -\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z.
Calculando:
\ln Z = -\ln\bigl(1 - e^{-\beta h\nu}\bigr), \quad \frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z = \frac{h\nu\,e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}.
Logo
\langle \varepsilon\rangle = \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu}-1} = \frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}.

Passo 4

Portanto a expressão de Planck para a energia média de um modo de frequência \nu é
\boxed{\langle \varepsilon\rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}}.

Passo 5

Para obter o espectro de corpo negro, multiplicamos \langle \varepsilon\rangle pelo número de modos por volume num intervalo \mathrm{d}\nu, que vale
\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,\mathrm{d}\nu.
Logo a densidade espectral de energia é
\boxed{u(\nu)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1}\,\mathrm{d}\nu}.

Passo 6

Em altas temperaturas kT\gg h\nu a expansão e^{h\nu/(kT)}\approx1+h\nu/(kT) leva a
\langle \varepsilon\rangle\approx kT,
recuperando o teorema de equipartição e o resultado de Rayleigh–Jeans, sem divergência. Em frequências elevadas h\nu\gg kT aparece o decaimento exponencial que evita a catástrofe ultravioleta. Isso concorda exatamente com os dados experimentais de corpo negro, que mostram um pico em frequência finita e decaem para altas \nu.

Resposta

\displaystyle \langle \varepsilon\rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1} \displaystyle u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1}
Ambas as fórmulas reproduzem corretamente os resultados experimentais e resolvem a catástrofe ultravioleta.

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