Obter f(t) por meio da transformada inversa de Laplace, utilizando expansão em frações parciais F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+2 s+2\right)}
Passo 1
O enunciado pede para obter f(t) aplicando a transformada inversa de Laplace, usando expansão em frações parciais, para
F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)}.
Informações dadas e objetivo:
Dado: F(s)=\dfrac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)}.
Pede-se: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} usando decomposição em frações parciais.
Observação útil: o polinômio quadrático s^{2}+2s+2 não tem raízes reais (tem raízes complexas), e pode ser escrito completando o quadrado como (s+1)^{2}+1.
Passo 2
Estratégia (sem calcular ainda): usar decomposição em frações parciais na forma
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Depois que tivermos essa decomposição, aplicamos a transformada inversa termo a termo usando pares padrão de Laplace.
Explicando a ideia da decomposição em frações parciais: quando o denominador é produto de fatores simples e quadráticos irreduzíveis, escrevemos uma soma de frações com denominadores iguais a esses fatores, e numeradores de grau menor que cada fator. Aqui o fator linear é s e o fator quadrático é s^{2}+2s+2, então a forma escolhida é a indicada acima.
Passo 3
Multiplicamos a identidade proposta pelo denominador comum para achar A,B,C. Começamos por escrever
1 = A\left(s^{2}+2s+2\right) + (Bs+C)s.
Agora expandimos os termos do lado direito:
1 = A s^{2} + 2A s + 2A + B s^{2} + C s.
Agrupando coeficientes por potências de s:
1 = (A+B) s^{2} + (2A + C) s + 2A.
Passo 4
Igualamos coeficientes dos polinômios (coeficientes de s^{2}, s e termo constante) para obter um sistema linear em A,B,C:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 2A + C = 0,\\[4pt] 2A = 1. \end{cases}
A transformada de Laplace da função constante 1 é \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Aqui s é a variável complexa da transformada e a fórmula vale para \Re(s)>0.
Nessas fórmulas, a e b são constantes (aqui a=1 e b=1 quando comparado com os termos que temos). A ideia é identificar cada fração com um desses pares e inverter.