Obter f(t) por meio da transformada inversa de Laplace, utilizando expansão em frações parciais
F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+2 s+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede para obter f(t) aplicando a transformada inversa de Laplace, usando expansão em frações parciais, para
F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)}.
Informações dadas e objetivo:
  • Dado: F(s)=\dfrac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)}.
  • Pede-se: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} usando decomposição em frações parciais.
  • Observação útil: o polinômio quadrático s^{2}+2s+2 não tem raízes reais (tem raízes complexas), e pode ser escrito completando o quadrado como (s+1)^{2}+1.

Passo 2

Estratégia (sem calcular ainda): usar decomposição em frações parciais na forma
\frac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+2s+2},
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Depois que tivermos essa decomposição, aplicamos a transformada inversa termo a termo usando pares padrão de Laplace.
Explicando a ideia da decomposição em frações parciais: quando o denominador é produto de fatores simples e quadráticos irreduzíveis, escrevemos uma soma de frações com denominadores iguais a esses fatores, e numeradores de grau menor que cada fator. Aqui o fator linear é s e o fator quadrático é s^{2}+2s+2, então a forma escolhida é a indicada acima.

Passo 3

Multiplicamos a identidade proposta pelo denominador comum para achar A,B,C. Começamos por escrever
1 = A\left(s^{2}+2s+2\right) + (Bs+C)s.
Agora expandimos os termos do lado direito:
1 = A s^{2} + 2A s + 2A + B s^{2} + C s.
Agrupando coeficientes por potências de s:
1 = (A+B) s^{2} + (2A + C) s + 2A.

Passo 4

Igualamos coeficientes dos polinômios (coeficientes de s^{2}, s e termo constante) para obter um sistema linear em A,B,C:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] 2A + C = 0,\\[4pt] 2A = 1. \end{cases}
Da terceira equação obtemos diretamente
A=\tfrac{1}{2}.
Substituindo na primeira e segunda equações:
B = -A = -\tfrac{1}{2}, \qquad C = -2A = -1.]

Passo 5

Substituímos A,B,C na decomposição:
\frac{1}{s\left(s^{2}+2s+2\right)}=\frac{1/2}{s}+\frac{-\tfrac{1}{2}s-1}{s^{2}+2s+2}.
Para facilitar a inversa, escrevemos o numerador do segundo termo em função de s+1. Note que
-\tfrac{1}{2}s-1 = -\tfrac{1}{2}(s+1)-\tfrac{1}{2},
portanto
\frac{-\tfrac{1}{2}s-1}{s^{2}+2s+2} = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1} - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+1},
pois s^{2}+2s+2=(s+1)^{2}+1.

Passo 6

Agora temos F(s) escrita como soma de termos cujas inversas são pares conhecidos:
F(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s} -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1} - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+1}.
Lembrando os pares padrão (explicando bem):
  • A transformada de Laplace da função constante 1 é \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Aqui s é a variável complexa da transformada e a fórmula vale para \Re(s)>0.
  • A transformada de Laplace de e^{-at}\cos(bt) é
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
  • A transformada de Laplace de e^{-at}\sin(bt) é
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Nessas fórmulas, a e b são constantes (aqui a=1 e b=1 quando comparado com os termos que temos). A ideia é identificar cada fração com um desses pares e inverter.

Passo 7

Aplicamos a transformada inversa termo a termo.
  1. Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}\right\}=\tfrac{1}{2}.
  1. Para o segundo termo, comparando com \dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} com a=1,b=1:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}\right\} = -\tfrac{1}{2} e^{-t}\cos t.
  1. Para o terceiro termo, notando que \dfrac{1}{(s+1)^{2}+1} corresponde a \mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\} (já que b=1), temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}+1}\right\} = -\tfrac{1}{2} e^{-t}\sin t.
Somando os três resultados, obtemos
f(t)=\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} e^{-t}\cos t - \tfrac{1}{2} e^{-t}\sin t.
Podemos fatorar \tfrac{1}{2} e e^{-t} para escrever de forma mais compacta:
f(t)=\tfrac{1}{2}\Bigl(1 - e^{-t}\bigl(\cos t + \sin t\bigr)\Bigr),
válida para t\ge 0 (função causal obtida pela transformada inversa).

Passo 8

Resumo rápido do método para a prova (dica de amigo):
  • Sempre tente decompor em frações parciais: fator linear dá termo A/s; fator quadrático irreduzível dá termo (Bs+C)/(quadrado).
  • Complete o quadrado no denominador quadrático para identificar o deslocamento s+a.
  • Reescreva o numerador em termos de (s+a) para encaixar nos pares \mathcal{L}\{e^{-at}\cos bt\} e \mathcal{L}\{e^{-at}\sin bt\}.
  • Inverta termo a termo. Se ficar nervoso, practice com um exemplo simples antes (por exemplo \dfrac{1}{s(s^{2}+1)}).

Resposta

f(t)=\dfrac{1}{2}\Bigl(1 - e^{-t}\bigl(\cos t + \sin t\bigr)\Bigr)

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