Obter uma parametrização:
da esfera
.
da esfera
Passo 1
O enunciado pede: obter uma parametrização da superfície definida pela equação
Informações dadas:
- A equação explícita da superfície é
. - A tarefa é escrever uma função
(ou ) que, ao variar os parâmetros dentro de intervalos apropriados, descreva todos os pontos da superfície.
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a equação de forma que fique explícito o centro e o raio da esfera. Para isso usamos o artifício de completar quadrados. Vou completar quadrados nas variáveis
e
; em
já está só
.
Completar o quadrado para
:
Completar o quadrado para
:
Substituindo essas expressões na equação original:
Agora somar os constantes:
Isolando os quadrados:
Passo 3
A expressão obtida é a forma padrão de uma esfera:
onde
é o centro e
é o raio. Comparando com a equação que encontramos:
- Centro:
. - Raio:
(pois ).
Então a superfície é a esfera de centro
e raio
.
Passo 4
Agora a ideia de parametrização: uma esfera de centro
e raio
pode ser parametrizada adicionando ao centro um vetor de comprimento
que descreve a esfera unitária. Em coordenadas esféricas (ângulos
e
):
-
é o ângulo polar (medido a partir do eixo , vai de a ), -
é o ângulo azimutal (no plano , vai de a ).
O vetor unitário correspondente é
Multiplicando por
e somando o centro
obtemos a parametrização da esfera:
Aqui
,
,
e
.
Passo 5
Escrevendo explicitamente as componentes (e informando os intervalos dos parâmetros):
com
e
.
Se quiser confirmar rapidamente: substituindo essas expressões em
dá
pois
e
. Logo a parametrização gera exatamente os pontos da esfera.