Obter uma parametrização:
da esfera x^{2}-2 x+y^{2}-4 y+z^{2}-4=0.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma parametrização da superfície definida pela equação
x^{2}-2x+y^{2}-4y+z^{2}-4=0.
Informações dadas:
  • A equação explícita da superfície é \;x^{2}-2x+y^{2}-4y+z^{2}-4=0.
  • A tarefa é escrever uma função \mathbf{r}(u,v) (ou \mathbf{r}(\theta,\varphi)) que, ao variar os parâmetros dentro de intervalos apropriados, descreva todos os pontos da superfície.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a equação de forma que fique explícito o centro e o raio da esfera. Para isso usamos o artifício de completar quadrados. Vou completar quadrados nas variáveis x e y; em z já está só z^{2}.
Completar o quadrado para x^{2}-2x:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Completar o quadrado para y^{2}-4y:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Substituindo essas expressões na equação original:
(x-1)^{2}-1 + (y-2)^{2}-4 + z^{2}-4 = 0.
Agora somar os constantes:
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + z^{2} -9 = 0.
Isolando os quadrados:
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} + z^{2} = 9.

Passo 3

A expressão obtida é a forma padrão de uma esfera:
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2},
onde (a,b,c) é o centro e R é o raio. Comparando com a equação que encontramos:
  • Centro: (a,b,c)=(1,2,0).
  • Raio: R=3 (pois 9=3^{2}).
Então a superfície é a esfera de centro (1,2,0) e raio 3.

Passo 4

Agora a ideia de parametrização: uma esfera de centro (a,b,c) e raio R pode ser parametrizada adicionando ao centro um vetor de comprimento R que descreve a esfera unitária. Em coordenadas esféricas (ângulos \varphi e \theta):
  • \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z, vai de 0 a \pi),
  • \theta é o ângulo azimutal (no plano xy, vai de 0 a 2\pi).
O vetor unitário correspondente é
(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi).
Multiplicando por R e somando o centro (a,b,c) obtemos a parametrização da esfera:
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=(a,b,c) + R(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi).
Aqui a=1, b=2, c=0 e R=3.

Passo 5

Escrevendo explicitamente as componentes (e informando os intervalos dos parâmetros):
x(\theta,\varphi)=1+3\sin\varphi\cos\theta,
y(\theta,\varphi)=2+3\sin\varphi\sin\theta,
z(\theta,\varphi)=0+3\cos\varphi = 3\cos\varphi,
com \theta\in[0,2\pi) e \varphi\in[0,\pi].
Se quiser confirmar rapidamente: substituindo essas expressões em (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}
(3\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(3\sin\varphi\sin\theta)^{2}+(3\cos\varphi)^{2}=9(\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta+\cos^{2}\varphi)=9,
pois \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1. Logo a parametrização gera exatamente os pontos da esfera.

Resposta

x(\theta,\varphi)=1+3\sin\varphi\cos\theta
y(\theta,\varphi)=2+3\sin\varphi\sin\theta
z(\theta,\varphi)=3\cos\varphi, com \theta\in[0,2\pi) e \varphi\in[0,\pi].

Exercícios relacionados