Obter um ponto p do eixo das abcissas equidistante dos pontos a(2,-3,1) e b(-2,1,-1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar um ponto $ P $ que está no eixo das abscissas (ou seja, no eixo $ x $) e que esteja afastado na mesma distância dos pontos $ A(2, -3, 1) $ e $ B(-2, 1, -1) $. Para isso, vamos usar a fórmula da distância no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos $ A(x_1, y_1, z_1) $ e $ B(x_2, y_2, z_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
Passo 3
Como o ponto $ P $ está no eixo das abscissas, suas coordenadas são $ P(p, 0, 0) $, onde $ p $ é o valor que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular a distância de $ P $ até $ A $ e de $ P $ até $ B $.
Passo 4
Calculando a distância de $ P $ até $ A $:
Calculando a distância de $ P $ até $ B $:
Passo 5
Como $ P $ deve estar equidistante de $ A $ e $ B $, as distâncias $ PA $ e $ PB $ devem ser iguais:
Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Subtraindo $ p^2 $ de ambos os lados:
Somando $ 4p $ em ambos os lados:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Dividindo por 8:
Resposta
O ponto $ P $ é $ P(1, , 0, , 0) $.