Obter um ponto p do eixo das abcissas equidistante dos pontos a(2,-3,1) e b(-2,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar um ponto $ P $ que está no eixo das abscissas (ou seja, no eixo $ x $) e que esteja afastado na mesma distância dos pontos $ A(2, -3, 1) $ e $ B(-2, 1, -1) $. Para isso, vamos usar a fórmula da distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos $ A(x_1, y_1, z_1) $ e $ B(x_2, y_2, z_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
A(x1, y1, z1)

Passo 3

Como o ponto $ P $ está no eixo das abscissas, suas coordenadas são $ P(p, 0, 0) $, onde $ p $ é o valor que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular a distância de $ P $ até $ A $ e de $ P $ até $ B $.

Passo 4

Calculando a distância de $ P $ até $ A $:
P
Calculando a distância de $ P $ até $ B $:
A

Passo 5

Como $ P $ deve estar equidistante de $ A $ e $ B $, as distâncias $ PA $ e $ PB $ devem ser iguais:
P
Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
A

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação:
(p - 2)^2 + 10 = (p + 2)^2 + 2
Expandindo os quadrados:
p^2 - 4p + 4 + 10 = p^2 + 4p + 4 + 2
Simplificando:
p^2 - 4p + 14 = p^2 + 4p + 6
Subtraindo $ p^2 $ de ambos os lados:
p^2
Somando $ 4p $ em ambos os lados:
-4p + 14 = 4p + 6
Subtraindo 6 de ambos os lados:
4p
Dividindo por 8:
14 = 8p + 6

Resposta

O ponto $ P $ é $ P(1, , 0, , 0) $.

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