1. Obter um ramo para tornar f(z)=\sqrt{1-z} unívoca.

Passo 1

O que o problema pede: obter um ramo (ou seja, definir domínio e fórmula) que torne a função f(z)=\sqrt{1-z} unívoca (single‑valued).
Informações dadas: a expressão é \sqrt{1-z}. Não há outras restrições no enunciado.
O objetivo é escolher um corte e uma definição da raiz quadrada para que, ao circular no domínio permitido, não haja troca de valor da raiz.

Passo 2

Por que f(z)=\sqrt{1-z} é multivalorada originalmente.
Substitua w=1-z. A função \sqrt{w} tem duas folhas: se w\neq0 e escrevemos w=re^{i\theta} então os valores são \pm\sqrt{r}e^{i\theta/2}. Ao percorrer um círculo em torno de w=0 com \theta aumentando de 0 até 2\pi, o fator e^{i\theta/2} muda de sinal, porque
e^{i(\theta+2\pi)/2}=e^{i\theta/2}e^{i\pi}=-e^{i\theta/2}.
Logo, circundar w=0 troca o sinal da raiz: multivaluada.

Passo 3

Identificar o ponto crítico no plano z.
A condição w=0 corresponde a 1-z=0, ou seja, z=1. Portanto z=1 é um ponto de ramificação (branch point). Para tornar f unívoca precisamos eliminar do domínio caminhos que circundem z=1 — isto é, traçar um corte (branch cut) saindo de z=1 até o infinito em alguma direção.

Passo 4

Escolha do corte mais simples (e usual) e sua justificativa.
Escolhemos o corte real positivo a partir de z=1: a reta [1,\infty) no eixo real. Essa escolha corresponde ao corte padrão do log no plano w, porque w=1-z pertence ao semieixo real negativo quando z\in[1,\infty). Ao excluir [1,\infty) do domínio do z-plano impedimos qualquer laço em torno de z=1, garantindo que o argumento de w=1-z possa ser escolhido de forma contínua e única.

Passo 5

Definição explícita do ramo unívoco (ramo principal).
Defina o logaritmo principal \Log no plano w tirando o semieixo real negativo: para w=re^{i\theta} com r>0 e \theta\in(-\pi,\pi],
\Log w = \ln r + i\theta.
Então definimos o ramo da raiz por
f(z)=\exp\!\bigg(\tfrac{1}{2}\Log(1-z)\bigg).
O domínio desta definição é
\mathbb{C}\setminus[1,\infty),
ou seja, todos os z complexos exceto os pontos reais z\ge 1. Nessa região a \Arg(1-z) fica bem definida em (-\pi,\pi], e assim \sqrt{1-z}=\sqrt{|1-z|}\,e^{i\Arg(1-z)/2} é única.

Passo 6

Propriedades: univalência e analiticidade.
Dentro de \mathbb{C}\setminus[1,\infty) a função \Log(1-z) é holomorfa (pois não atravessa o corte), então f(z)=\exp\big(\tfrac12\Log(1-z)\big) também é holomorfa e, em particular, unívoca. Se alguém circundasse z=1 isso não é possível sem cruzar o corte, por isso não ocorre troca de folha. A derivada pode ser obtida por derivação composta:
f'(z)=\frac{d}{dz}\exp\!\bigg(\tfrac12\Log(1-z)\bigg)=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-z}},
onde \sqrt{1-z} é o valor do ramo escolhido (não há ambiguidade no domínio).

Passo 7

Observações e alternativas.
  • Poderíamos escolher outros cortes (por exemplo, um raio que parte de z=1 em outra direção), e definir \Arg(1-z) em um intervalo de comprimento 2\pi deslocado; isso também produziria um ramo unívoco.
  • A escolha feita acima é a usual (ramo principal) e é prática para provas e cálculos.

Resposta

Defina o ramo por
f(z)=\exp\!\bigg(\tfrac{1}{2}\Log(1-z)\bigg),
onde \Log é o logaritmo principal (com \Arg\in(-\pi,\pi]). O domínio desse ramo é \mathbb{C}\setminus[1,\infty), e nessa região f(z)=\sqrt{|1-z|}\,e^{i\Arg(1-z)/2} é unívoca.

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