- Obter um ramo para tornar
unívoca.
Passo 1
O que o problema pede: obter um ramo (ou seja, definir domínio e fórmula) que torne a função
unívoca (single‑valued).
Informações dadas: a expressão é . Não há outras restrições no enunciado.
O objetivo é escolher um corte e uma definição da raiz quadrada para que, ao circular no domínio permitido, não haja troca de valor da raiz.
Informações dadas: a expressão é
O objetivo é escolher um corte e uma definição da raiz quadrada para que, ao circular no domínio permitido, não haja troca de valor da raiz.
Passo 2
Por que
é multivalorada originalmente.
Substitua . A função
tem duas folhas: se
e escrevemos
então os valores são
. Ao percorrer um círculo em torno de
com
aumentando de
até
, o fator
muda de sinal, porque
Substitua
Logo, circundar
troca o sinal da raiz: multivaluada.
Passo 3
Identificar o ponto crítico no plano
.
A condição corresponde a
, ou seja,
. Portanto
é um ponto de ramificação (branch point). Para tornar
unívoca precisamos eliminar do domínio caminhos que circundem
— isto é, traçar um corte (branch cut) saindo de
até o infinito em alguma direção.
A condição
Passo 4
Escolha do corte mais simples (e usual) e sua justificativa.
Escolhemos o corte real positivo a partir de : a reta
no eixo real. Essa escolha corresponde ao corte padrão do log no plano
, porque
pertence ao semieixo real negativo quando
. Ao excluir
do domínio do
-plano impedimos qualquer laço em torno de
, garantindo que o argumento de
possa ser escolhido de forma contínua e única.
Escolhemos o corte real positivo a partir de
Passo 5
Definição explícita do ramo unívoco (ramo principal).
Defina o logaritmo principal no plano tirando o semieixo real negativo: para
com
e
,
Defina o logaritmo principal no plano
Então definimos o ramo da raiz por
O domínio desta definição é
ou seja, todos os
complexos exceto os pontos reais
. Nessa região a
fica bem definida em
, e assim
é única.
Passo 6
Propriedades: univalência e analiticidade.
Dentro de a função
é holomorfa (pois não atravessa o corte), então
também é holomorfa e, em particular, unívoca. Se alguém circundasse
isso não é possível sem cruzar o corte, por isso não ocorre troca de folha. A derivada pode ser obtida por derivação composta:
Dentro de
onde
é o valor do ramo escolhido (não há ambiguidade no domínio).
Passo 7
Observações e alternativas.
- Poderíamos escolher outros cortes (por exemplo, um raio que parte de
em outra direção), e definir em um intervalo de comprimento deslocado; isso também produziria um ramo unívoco. - A escolha feita acima é a usual (ramo principal) e é prática para provas e cálculos.
Resposta
Defina o ramo por
onde
é o logaritmo principal (com
). O domínio desse ramo é
, e nessa região
é unívoca.