- Determine a parte real
e a parte imaginária
da função complexa
no ramo principal.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a parte real
e a parte imaginária
da função complexa
no ramo principal.
Dados fornecidos e informações explícitas do enunciado:
Dados fornecidos e informações explícitas do enunciado:
- A função é
. - O ramo é o ramo principal do logaritmo complexo (isto está no enunciado).
- Devemos escrever
e em termos de e , onde com reais.
Passo 2
Vamos relembrar (com calma) o que significa o logaritmo complexo no ramo principal — isso é essencial para entender a resposta. Para um número complexo
,
onde
é o módulo de
e
é o argumento principal de
, isto é, o ângulo de
escolhido no intervalo
. Aqui
é o logaritmo natural real aplicado ao módulo. Essa fórmula nos diz que a parte real de
é
e a parte imaginária é
.
Passo 3
Aplicando isso a
. Primeiro escrevemos
em coordenadas reais:
Portanto
Para simplificar, defina
assim
. Esses
e
são números reais:
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
.
Passo 4
Calcule o módulo
. Pela definição do módulo,
A parte real
de
é
. Usando que
, obtemos
Expliquei cada passo: primeiro achar o módulo como raiz quadrada da soma dos quadrados, depois aplicar o log natural.
Passo 5
Agora a parte imaginária
é o argumento principal de
:
Uma forma prática de escrever o argumento é usando a função de duas variáveis
, que já cuida das correções de quadrante:
onde
retorna o ângulo em
cujo cosseno e seno correspondem às coordenadas
.
Passo 6
Se você preferir uma expressão usando
Essa escrita com casos reproduz precisamente o valor do argumento no intervalo
e
significa
(ou seja
), ponto onde o logaritmo não está definido.]
Passo 7
É importante perceber a respectiva linha de corte do ramo principal: o log no ramo principal é definido para
. Isso em termos de
significa que não podemos ter
real e não positivo, ou seja, pontos com
e
(a partir de
para a direita na reta real) estão sobre o ramo cortado; em particular
é singular (
indefinido).