Obter uma reta paralela a
e distante
do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma reta que seja paralela à reta
e que esteja a uma distância de
do ponto
.
Matéria envolvida: Equações de retas paralelas e cálculo de distância de um ponto a uma reta.
O que vamos precisar:
- Entender como identificar retas paralelas.
- Saber calcular a distância entre um ponto e uma reta usando a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, ou seja, os mesmos coeficientes para
e
na equação geral da reta. A equação da reta
é
, que podemos reescrever na forma padrão:
Aqui, os coeficientes de
e
são ambos 1. Portanto, qualquer reta paralela a
terá a forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
de forma que a nova reta
esteja a uma distância de
do ponto
.
Para isso, usamos a fórmula da distância entre um ponto
e uma reta
:
No nosso caso:
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Simplificando o denominador:
Então a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das possibilidades:
-
Primeira possibilidade:
-
Segunda possibilidade:
Passo 7
Com os valores de
encontrados, temos duas retas paralelas a
que estão a uma distância de
do ponto
:
-
ou simplificando -
Resposta
As retas paralelas a
e distantes
do ponto
são: