Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir e verificar a solução obtida.
u_{x y}=x^{2}+3 x y-4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDP
u_{xy}=x^{2}+3xy-4y^{2}
ou seja, a derivada mista de segunda ordem de u(x,y) é uma função dada de x e y. Vamos usar integração sucessiva em uma das variáveis, tratando a outra como constante, e introduzir as funções arbitrárias de integração.

Passo 2

Integramos a EDP em relação a x, considerando y constante. Assim,
u_y = \int \bigl(x^{2}+3xy-4y^{2}\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx + 3y\int x\,dx -4y^{2}\int 1\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}y}{2} -4xy^{2} + \varphi(y),
onde \varphi(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora integramos u_y em relação a y, tratando x como constante:
u(x,y) = \int \Bigl(\frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}y}{2} -4xy^{2} + \varphi(y)\Bigr)\,dy.
Fazendo cada termo:
\int \frac{x^{3}}{3}\,dy = \frac{x^{3}y}{3},\quad \int \frac{3x^{2}y}{2}\,dy = \frac{3x^{2}y^{2}}{4},\quad \int -4xy^{2}\,dy = -\frac{4x y^{3}}{3},\quad \int \varphi(y)\,dy = \Phi(y),
onde \Phi'(y)=\varphi(y). Além disso, aparece uma função arbitrária de x, digamos F(x). Logo,
u(x,y) = \frac{x^{3}y}{3} + \frac{3x^{2}y^{2}}{4} - \frac{4x y^{3}}{3} + F(x) + \Phi(y).

Passo 4

Verificamos a solução diferenciando:
primeiro
u_y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}y}{2} -4xy^{2} + \Phi'(y),
depois
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}y}{2} -4xy^{2} + \Phi'(y)\Bigr) = x^{2} + 3xy -4y^{2},
pois \Phi'(y) independe de x. Isso coincide com a EDP dada.

Resposta

u(x,y) = \frac{x^{3}y}{3} + \frac{3x^{2}y^{2}}{4} - \frac{4x y^{3}}{3} + F(x) + G(y),
onde F e G são funções arbitrárias.

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