Obter a solução geral das equações:
2 t y^{\prime}+y=t y^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2\,t\,\frac{dy}{dt}+y = t\,y^{4}.
Este é um caso de equação de Bernoulli de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dt} + P(t)\,y = Q(t)\,y^{n}
com n\neq0,1. Vamos usar o método de Bernoulli: primeiro colocamos em forma padrão, depois fazemos a mudança de variável z=y^{1-n}.

Passo 2

Dividindo a equação original por 2t (supondo t\neq0) obtemos
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2t}\,y = \frac12\,y^{4}.
Aqui P(t)=\tfrac1{2t}, Q(t)=\tfrac12 e n=4.

Passo 3

Na equação de Bernoulli usamos a substituição
z = y^{\,1-n} = y^{-3}.
Calculando \frac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dt}.
Agora isolamos \frac{dy}{dt} na forma padrão e substituímos:
y^{-4}\,\frac{dy}{dt} = \frac12 - \frac{1}{2t}\,y^{-3} = \frac12 - \frac{1}{2t}\,z.
Logo
\frac{dz}{dt} = -3\Bigl(\tfrac12 - \tfrac{1}{2t}\,z\Bigr) = -\frac32 + \frac{3}{2t}\,z,
ou seja a equação em z é linear:
\frac{dz}{dt} - \frac{3}{2t}\,z = -\frac32.

Passo 4

Para resolver
\frac{dz}{dt} - \frac{3}{2t}\,z = -\frac32
calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{3}{2t}\,dt\Bigr) = t^{-\tfrac32}.
Multiplicando a DE por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-\tfrac32}z\bigr) = -\frac32\,t^{-\tfrac32}.
Integrando em t:
t^{-\tfrac32}z = \int -\frac32\,t^{-\tfrac32}\,dt + C = 3\,t^{-\tfrac12} + C,
ou seja
z = 3\,t + C\,t^{\tfrac32}.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando z=y^{-3}, temos
y^{-3} = 3\,t + C\,t^{\tfrac32} \quad\Longrightarrow\quad y^{3} = \frac{1}{3\,t + C\,t^{\tfrac32}}
e finalmente
y(t) = \bigl(3\,t + C\,t^{\tfrac32}\bigr)^{-\tfrac13},
onde C é constante arbitrária de integração.

Resposta

y(t) = \bigl(3\,t + C\,t^{\tfrac32}\bigr)^{-\tfrac13}.

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