Obter a solução geral das equações:
\frac{d y}{d x}-\frac{4}{x} y=y^{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{d y}{d x}-\frac{4}{x}\,y=y^{3}
Esse tipo de equação é do tipo de Bernoulli, com n=3. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão e depois usar a substituição apropriada.

Passo 2

Escrevendo em forma de Bernoulli
\frac{d y}{d x} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
vemos que
P(x)=-\frac{4}{x}, \quad Q(x)=1, \quad n=3.

Passo 3

Na equação de Bernoulli, introduzimos
v = y^{1-n} = y^{-2}.
Para achar \frac{d v}{d x}, derivamos:
\frac{d v}{d x} = -2\,y^{-3}\,\frac{d y}{d x}.

Passo 4

Dividimos a equação original por y^{3} e substituímos y^{-3}\frac{d y}{d x} e y^{-2}=v. Assim:
y^{-3}\frac{d y}{d x}-\frac{4}{x}\,y^{-2}=1
-\,\tfrac12\frac{d v}{d x}-\frac{4}{x}\,v=1.
Multiplicando tudo por -2 dá a equação linear em v:
\frac{d v}{d x}+\frac{8}{x}\,v=-2.

Passo 5

Essa é uma EDO linear com fator integrante
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int \frac{8}{x}\,dx\biggr)=x^{8}.
Multiplicando por \mu e integrando:
\frac{d}{d x}\bigl(x^{8}v\bigr)=-2\,x^{8}
x^{8}v=-2\int x^{8}\,dx +C =-\frac{2}{9}\,x^{9}+C.
Logo
v = -\tfrac{2}{9}\,x + C\,x^{-8}.

Passo 6

Voltando a y pela relação v=y^{-2}:
y^{-2} =-\tfrac{2}{9}\,x + C\,x^{-8}
y^{2} =\frac{1}{C\,x^{-8}-\tfrac{2}{9}\,x} =\frac{x^{8}}{C - \tfrac{2}{9}\,x^{9}}
e portanto
y(x) =\pm \frac{x^{4}}{\sqrt{\,C - \tfrac{2}{9}\,x^{9}\,}}.

Resposta

y(x) =\pm \frac{x^{4}}{\sqrt{\,C - \tfrac{2}{9}\,x^{9}\,}},
onde C é constante arbitrária.

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