Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir, que são solucionáveis como EDO. Empregar o MCI na determinação da solução particular u_{p}, inclusive analisando se há coincidência ou não entre u_{h} e u_{p}. Verificar a solução obtida.
4 u_{x}-u=3 x-y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDP linear de primeira ordem
4\,u_{x}-u=3x-y
podendo vê-la como uma EDO em x com y tratado como parâmetro. Vamos primeiro achar a solução homogênea e depois aplicar o método da constante de integração (MCI) para obter uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
4\,u_{x}-u=0.
Isso é uma EDO em x:
u_{x}=\frac{1}{4}\,u.
A solução geral dessa EDO é
u_{h}(x,y)=A(y)\,e^{x/4},
onde A(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular pelo MCI, supondo
u_{p}(x,y)=A(x,y)\,e^{x/4}.
Então
u_{x}=A_{x}\,e^{x/4}+\tfrac{1}{4}A\,e^{x/4},
e substituindo na EDP temos
4\bigl(A_{x}\,e^{x/4}+\tfrac{1}{4}A\,e^{x/4}\bigr)-A\,e^{x/4}=3x-y \;\Longrightarrow\; 4\,A_{x}\,e^{x/4}=3x-y.
Logo
A_{x}=\frac{3x-y}{4}\,e^{-x/4}.
Integramos em x:
A(x,y)=\int\frac{3x-y}{4}\,e^{-x/4}\,dx +D(y) =e^{-x/4}(-3x+y)+D(y).
Escolhendo D(y)=0 para ter uma particular simples, obtemos
u_{p}(x,y)=-3x+y.

Passo 4

Verificamos se há coincidência entre u_{h} e u_{p}:
u_{h}=A(y)\,e^{x/4} \quad\text{e}\quad u_{p}=-3x+y.
Não há coincidência (um é exponencial em x, o outro é linear), então não precisamos multiplicar o palpite por nenhum fator extra.

Passo 5

A solução geral da EDP é a soma da homogênea com a particular:
u(x,y)=A(y)\,e^{x/4}-3x+y,
onde A(y) é função arbitrária de y.

Passo 6

Para verificar, calculemos
u_{x}=\tfrac{1}{4}A(y)\,e^{x/4}-3
e logo
4\,u_{x}-u =4\bigl(\tfrac{1}{4}A(y)\,e^{x/4}-3\bigr)-\bigl(A(y)\,e^{x/4}-3x+y\bigr) = -12 -A(y)\,e^{x/4}+3x -y +A(y)\,e^{x/4} =3x-y,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

\boxed{u(x,y)=C(y)\,e^{x/4}-3x+y,}
onde C(y) é uma função arbitrária de y.

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