Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir, que são solucionáveis como EDO. Empregar o MCI na determinação da solução particular u_{p}, inclusive analisando se há coincidência ou não entre u_{h} e u_{p}. Verificar a solução obtida. u_{y}+u=\operatorname{sen}(x y)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação em derivada parcial
\frac{\partial u}{\partial y} + u = \sin(xy),
que, para cada x fixo, é uma EDO linear de primeira ordem em y. O conteúdo é “EDO linear com coeficientes constantes em y”, e vamos resolver escrevendo a solução geral como
u(x,y)=u_{h}(x,y)+u_{p}(x,y),
onde u_{h} vem da equação homogênea e u_{p} se obtém pelo método dos coeficientes indeterminados (MCI).
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
\frac{\partial u_{h}}{\partial y} + u_{h} = 0.
Isso é uma EDO separável com solução
u_{h}(x,y)=C(x)\,e^{-y},
onde C(x) é uma “constante” de integração dependente de x.
Passo 3
Para achar u_{p} pelo MCI, suponho uma forma envolvendo \sin(xy) e \cos(xy):