Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir, que são solucionáveis como EDO. Empregar o MCI na determinação da solução particular u_{p}, inclusive analisando se há coincidência ou não entre u_{h} e u_{p}. Verificar a solução obtida.
u_{y}+u=e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma PDE linear de primeira ordem em y, dada por
u_{y} + u = e^{x y}\,,
onde tratamos x como parâmetro e resolvemos uma EDO em y. Para isso vamos usar o método do fator integrante (MCI), encontrando primeiro a solução homogênea u_{h}, depois uma solução particular u_{p} e examinando o caso de coincidência (ressonância) entre elas.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
u_{y} + u = 0.
Trata-se de uma EDO de coeficientes constantes em y. A solução geral é
u_{h}(x,y) = A(x)\,e^{-y},
onde A(x) é uma função arbitrária de x.

Passo 3

Para achar uma solução particular quando 1 + x \neq 0, calculamos o fator integrante
\mu(y) = e^{\int 1\,dy} = e^{y}.
Multiplicando a PDE original por \mu(y) vem
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}u\bigr) = e^{y}e^{x y} = e^{(1+x)y}.
Integramos em y:
e^{y}u = A(x) + \int e^{(1+x)y}\,dy = A(x) + \frac{e^{(1+x)y}}{1+x}.
Logo, para x\neq -1,
u(x,y) = A(x)e^{-y} + \frac{e^{x y}}{1+x}.

Passo 4

Se x = -1, a integral de e^{(1+x)y} faz 1+x=0 e temos ressonância, pois o termo particular proposto seria da forma e^{-y}, igual ao homogêneo. Neste caso tentamos
u_{p}(y) = B(x)\,y\,e^{-y}.
Como x está fixo em -1, derivamos em y:
u_{p,y} + u_{p} = B(-1)\bigl[e^{-y}(1-y) + y\,e^{-y}\bigr] = B(-1)\,e^{-y}.
Queremos isso igual a e^{-y}, logo B(-1)=1. Assim
u(x,y)=A(x)e^{-y} + y\,e^{-y} \quad\text{quando }x=-1.

Passo 5

Combinando os casos, a solução geral é:
  • Para x\neq -1: u(x,y)=A(x)e^{-y} + \frac{e^{x y}}{1+x}.
  • Para x=-1: u(-1,y)=A(-1)e^{-y} + y\,e^{-y}.

Passo 6

Verificamos rapidamente no caso x\neq -1:
u_{y} = -A(x)e^{-y} + \frac{x\,e^{x y}}{1+x},
portanto
u_{y}+u = \bigl(-A(x)e^{-y} + \tfrac{x\,e^{x y}}{1+x}\bigr) + \bigl(A(x)e^{-y} + \tfrac{e^{x y}}{1+x}\bigr) = e^{x y}.
Para x=-1 também confere conforme calculado no Passo 4.

Resposta

Para x \neq -1:
u(x,y)=A(x)e^{-y} + \frac{e^{x y}}{1+x}.
Para x=-1:
u(-1,y)=A(-1)e^{-y} + y\,e^{-y}.

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