Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir e verificar a solução obtida.
u_{y}=x^{2} \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDP
u_{y}=x^{2}\sin(xy)
ou seja, a derivada parcial de u em relação a y é dada. Para resolver, vamos tratar x como constante e integrar em y, introduzindo uma “constante” de integração que pode depender de x.

Passo 2

Integrando ambos os lados em relação a y, obtemos
u(x,y)=\int x^{2}\sin(xy)\,dy + A(x),
onde A(x) é uma função arbitrária de x, pois ao derivar em y ela some.

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos t=xy\implies dt=x\,dy. Assim,
\int x^{2}\sin(xy)\,dy =x^{2}\int \sin(t)\,\frac{dt}{x} =x\int \sin(t)\,dt =-x\cos(t) =-x\cos(xy).
Logo,
u(x,y)=-x\cos(xy)+A(x).

Passo 4

Verificamos diferenciando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x\cos(xy)+A(x)\bigr) =-x\bigl(-\sin(xy)\,x\bigr)+0 =x^{2}\sin(xy),
o que coincide com a EDP original.

Resposta

A solução geral é
u(x,y)=-x\cos(xy)+\varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x.

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