Obter a solução particular dos PVI abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições iniciais
y^{\prime}+2 x-4=0, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução particular do problema de valor inicial
y' + 2x - 4 = 0, \quad y(0)=2.
Aqui temos uma EDO de primeira ordem, sem dependência de y no lado direito, que podemos resolver por integração direta.

Passo 2

Reescrevendo a EDO, isolamos a derivada:
\frac{dy}{dx} = -2x + 4.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int dy = \int (-2x + 4)\,dx.
No lado esquerdo a integral de dy é y; no direito, calculamos
\int (-2x)\,dx = -x^2, \qquad \int 4\,dx = 4x,
de modo que a solução geral fica
y(x) = -x^2 + 4x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=2 para achar C. Substituindo x=0 em
y(0) = -0^2 + 4\cdot 0 + C = C
devemos ter C=2. Logo a solução particular é
y(x) = -x^2 + 4x + 2.

Resposta

A solução particular do PVI é
y(x) = -x^2 + 4x + 2.

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