Obter a solução particular dos PVI abaixo. Para tanto, resolva as EDO e, em seguida, determine os coeficientes arbitrários por meio das condições iniciais
3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0, y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução particular do PVI
3\,y'' + 4\,y' + y = 0,\quad y(0)=5,\quad y'(0)=3.
O conteúdo é EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. montar a equação característica,
  2. encontrar suas raízes,
  3. escrever a solução geral,
  4. aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada é
3r^2 + 4r + 1 = 0.
Calculando o discriminante: \Delta = 4^2 - 4\cdot3\cdot1 = 16 - 12 = 4. Logo as raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2\cdot3} = \frac{-4 \pm 2}{6} = -1,\;-\tfrac13.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas ( r_1=-1, r_2=-\tfrac13), a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{-x} \;+\; C_2\,e^{-x/3}.

Passo 4

Para aplicar y'(0)=3, derivamos:
y'(x) = -C_1\,e^{-x} \;-\;\tfrac{1}{3}\,C_2\,e^{-x/3}.

Passo 5

Usamos as condições iniciais em x=0:
  1. y(0)=C_1 + C_2 = 5,
  2. y'(0)= -C_1 - \tfrac13\,C_2 = 3.
Multiplicando a segunda por 3:
-3\,C_1 - C_2 = 9.
Somando com C_1+C_2=5 vem
-2\,C_1 = 14 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -7,
e assim
C_2 = 5 - C_1 = 5 - (-7) = 12.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular:
y(x) = -7\,e^{-x} \;+\; 12\,e^{-x/3}.

Resposta

y(x) = -7\,e^{-x} + 12\,e^{-x/3}.

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