Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de 2^{\text {a }} ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular f_{p}(x). Analise se existe a coincidência entre termos de f_{h}(x) e f_{p}(x) e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular f_{p}(x), justificando sua resposta. (*)
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não-homogênea de 2ª ordem
y'' + 3y' + 2y = 6
usando o método dos coeficientes indeterminados (MCI). Precisamos encontrar a solução geral
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p é uma particular. Depois, verificar apenas y_p.

Passo 2

Determine y_h resolvendo a homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
que fatoriza em (r+1)(r+2)=0. Logo as raízes são r=-1 e r=-2, e
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para obter y_p pelo MCI, note que o termo não-homogêneo é constante ( 6). Propomos
y_p(x) = A,
com A constante. Como y_h não contém termo constante, não há coincidência de formas, então podemos usar essa proposta sem multiplicar por x.

Passo 4

Substitua y_p(x)=A na EDO original. Como
y_p' = 0, \quad y_p'' = 0,
fica
0 + 3\cdot 0 + 2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad A = 3.
Thus y_p(x)=3.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 3.

Passo 6

Para verificar y_p, basta checar na EDO:
y_p'' + 3y_p' + 2y_p = 0 + 0 + 2\cdot 3 = 6,
que coincide com o lado direito. Logo y_p(x)=3 está correta.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 3.}

Exercícios relacionados