Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de 2^{\text {a }} ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular f_{p}(x). Analise se existe a coincidência entre termos de f_{h}(x) e f_{p}(x) e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular f_{p}(x), justificando sua resposta. (*)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 x}

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO não homogênea de 2ª ordem
y'' - 2y' - 3y = 3e^{2x}
O conteúdo envolve: (i) achar a solução geral da homogênea usando a equação característica; (ii) gerar uma solução particular f_p(x) pelo Método dos Coeficientes Indeterminados (MCI); (iii) checar se há coincidência de termos entre f_h(x) e f_p(x); (iv) verificar que f_p(x) de fato satisfaz a EDO.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
com raízes
r = 3,\quad r = -1.
Logo a solução geral da homogênea é
f_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 3e^{2x}, propomos pelo MCI
f_p(x) = A e^{2x}.
Precisamos verificar coincidência entre e^{2x} e as bases de f_h(x), que são e^{3x} e e^{-x}. Como 2\neq 3 e 2\neq -1, não há coincidência e nossa escolha é válida.

Passo 4

Calculamos as derivadas de f_p:
f_p'(x)=2A e^{2x}, \quad f_p''(x)=4A e^{2x}.
Substituindo na EDO original:
f_p'' - 2f_p' - 3f_p = \bigl(4A - 2\cdot2A - 3A\bigr)e^{2x} = (-3A)e^{2x}
isso deve ser igual a 3e^{2x}, logo
-3A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -1.

Passo 5

Portanto a solução particular é
f_p(x) = -\,e^{2x}.
A solução geral da EDO não homogênea é
y(x) = f_h(x) + f_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - e^{2x}.

Passo 6

Verificação de f_p: substituindo
f_p'' - 2f_p' - 3f_p = \bigl(4(-1) - 2\cdot2(-1) -3(-1)\bigr)e^{2x} = (-4 +4 +3)e^{2x} = 3e^{2x},
que coincide com o lado não homogêneo. Logo f_p(x) está correta.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - e^{2x},
com solução particular f_p(x) = -e^{2x}.

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