Obter as soluções gerais das EDO lineares de 2^{a} ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}-\omega^{2} y=0, em que \omega^{2} é uma constante

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - \omega^{2}y = 0,
onde \omega^{2} é constante. O conteúdo aqui é o método da equação característica para EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Supomos uma solução do tipo
y(x) = e^{r x}.
Substituindo em y'' - \omega^{2}y=0 temos
r^{2}e^{r x} - \omega^{2}e^{r x} = 0
ou seja, o fator e^{r x} não pode ser zero, restando a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r^{2} - \omega^{2} = 0.
Resolvendo-a, obtemos as raízes
r_{1} = \omega, \quad r_{2} = -\omega.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}e^{\omega x} + C_{2}e^{-\omega x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Passo 5

Alternativamente, usando funções hiperbólicas, podemos escrever
y(x) = A\operatorname{cosh}(\omega x) + B\operatorname{sinh}(\omega x),
com A e B também constantes arbitrárias, já que \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} são combinações lineares das exponenciais acima.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{\omega x} + C_{2}e^{-\omega x}.

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