Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de
ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular
. Analise se existe a coincidência entre termos de
e
e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular
, justificando sua resposta. (*)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados (MCI): primeiro achamos a solução geral da homogênea
e depois uma particular
, verificando coincidências de termos e por fim checando apenas
.
Passo 2
Encontramos a solução homogênea resolvendo a equação característica
As raízes são
Logo
Passo 3
O segundo membro é
. Proponho
Não há expo,ne,nenciais iguais às de
, nem polinômios ou senos/cosenos coincidentes com
, portanto não precisamos multiplicar a proposta por
.
Passo 4
Para a parte polinomial
temos
Substituindo em
dá
Isso deve igualar
, daí
Passo 5
Para a parte trigonométrica
vale
Então
deve ser
. Assim
Resolvendo,
e
.
Passo 6
A solução particular é
Portanto a solução geral
Passo 7
Para verificação basta checar
; como MCI garante que essa soma reproduz o termo não homogêneo, não precisamos reavaliar a parte homogênea — qualquer diferença seria solução da homogênea e está já em
.