Obter as soluções gerais das EDO lineares de 2^{a} ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}+\omega^{2} y=0, em que \omega^{2} é uma constante

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + \omega^2\,y = 0,
onde \omega^2 é constante. O conteúdo envolvido é o método da equação característica para EDOs de coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo em y'' + \omega^2 y=0
r^2 e^{r x} + \omega^2 e^{r x} = 0
e, como e^{r x}\neq0, a equação característica é
r^2 + \omega^2 = 0.

Passo 3

Resolvendo r^2 + \omega^2=0 obtemos as raízes complexas
r = \pm i\,\omega.
Para raízes r_1=i\omega e r_2=-i\omega, a solução geral complexa é
y(x) = C_1 e^{i\omega x} + C_2 e^{-i\omega x},
com C_1,C_2 constantes.

Passo 4

Usando a identidade de Euler e^{i\omega x} = \cos(\omega x) + i\sin(\omega x) e tomando combinações reais, a forma real da solução fica
y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x),
onde A e B são constantes de integração reais.

Resposta

A solução geral é
y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x),
com A,B constantes reais.

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