Obter as soluções gerais das EDO de 1^{a} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1{ }^{a} ordem com coeficientes homogêneos)
2 x^{3} y d x+\left(x^{4}+y^{4}\right) d y=0 (Sugestão: usar a substituição v=x / y )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem homogênea
2x^{3}y\,dx + \bigl(x^{4}+y^{4}\bigr)\,dy = 0
usando a substituição v = x/y. Vamos transformar a equação em termos de v e y, resolver por separação de variáveis e depois verificar que a solução obtida de fato satisfaz a EDO original.

Passo 2

Fazendo x = v\,y, temos
dx = v\,dy + y\,dv.
Substituindo em cada termo:
2x^{3}y\,dx = 2\,(v\,y)^{3}\,y\,(v\,dy + y\,dv) =2v^{3}y^{4}\bigl(v\,dy + y\,dv\bigr),
x^{4}+y^{4} = v^{4}y^{4}+y^{4}=y^{4}\bigl(v^{4}+1\bigr).

Passo 3

Substituindo no diferencial completo,
2v^{3}y^{4}(v\,dy + y\,dv) + y^{4}(v^{4}+1)\,dy = 0
\Longrightarrow 2v^{4}y^{4}\,dy + 2v^{3}y^{5}\,dv + v^{4}y^{4}\,dy + y^{4}\,dy = 0
\Longrightarrow y^{4}\bigl(3v^{4}+1\bigr)\,dy + 2v^{3}y^{5}\,dv = 0.
Dividindo por y^{4},
\bigl(3v^{4}+1\bigr)\,dy + 2v^{3}y\,dv = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(3v^{4}+1\bigr)\frac{dy}{y} + 2v^{3}\,dv = 0.

Passo 4

Isolando os diferenciais,
\frac{dy}{y} = -\frac{2v^{3}}{3v^{4}+1}\,dv.
Integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y} = \ln|y|,\qquad \int -\frac{2v^{3}}{3v^{4}+1}\,dv.
Para o segundo, use w=3v^{4}+1, dw=12v^{3}dv, logo
\int -\frac{2v^{3}}{3v^{4}+1}\,dv =-\frac{2}{12}\int \frac{dw}{w} =-\frac{1}{6}\ln|w| =-\frac{1}{6}\ln\bigl(3v^{4}+1\bigr).
Assim,
\ln|y| = -\tfrac{1}{6}\ln\bigl(3v^{4}+1\bigr) + C \;\Longrightarrow\; y = C_{1}\bigl(3v^{4}+1\bigr)^{-\tfrac{1}{6}}.

Passo 5

Voltando a v = x/y,
y = C_{1}\Bigl(3\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)^{4}+1\Bigr)^{-\tfrac{1}{6}} = C_{1}\bigl(3x^{4}+y^{4}\bigr)^{-\tfrac{1}{6}}\,y^{\tfrac{2}{3}}.
Reorganizando e elevando ambos os lados à sexta potência, chega-se à forma implícita
y^{2}\,\bigl(3x^{4}+y^{4}\bigr)=C,
onde C=(C_{1})^{6} é constante arbitrária.

Passo 6

Verificação: considere
F(x,y)=y^{2}(3x^{4}+y^{4})-C=0.
Calculando dF=0:
\frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy = \bigl(12x^{3}y^{2}\bigr)dx + \bigl(6yx^{4}+6y^{5}\bigr)dy=0,
ou
12x^{3}y^{2}\,dx +6y\bigl(x^{4}+y^{4}\bigr)\,dy=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{3}y\,dx + \bigl(x^{4}+y^{4}\bigr)\,dy=0,
que é exatamente a EDO original. Portanto a solução implícita está correta.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\boxed{y^{2}\,\bigl(3x^{4}+y^{4}\bigr)=C,}
com C constante arbitrária.

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