Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1{ }^{\text {a }} ordem separáveis)
y^{\prime}=e^{3 x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de 1ª ordem separável
y' = e^{3x+2y}.
Vamos usar separação de variáveis, integrar ambos os lados e, em seguida, verificar que a solução encontrada satisfaz a EDO.

Passo 2

Separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} = e^{3x}\,e^{2y} \quad\Longrightarrow\quad e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx.
Agora integramos os dois lados:
\int e^{-2y}\,dy = \int e^{3x}\,dx
-\tfrac12\,e^{-2y} = \tfrac13\,e^{3x} + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 3

Multiplicando por -2 e definindo C=-2C_1, obtemos a forma implícita
e^{-2y} = C - \tfrac{2}{3}\,e^{3x}.
Tomando logaritmo e isolando y:
-2y = \ln\!\Bigl(C - \tfrac{2}{3}e^{3x}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = -\tfrac12\,\ln\!\Bigl(C - \tfrac{2}{3}e^{3x}\Bigr),
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Para verificar, diferenciamos implicitamente
e^{-2y} = C - \tfrac{2}{3}e^{3x}.
Derivando em relação a x:
-2\,e^{-2y}\,y' = -2\,e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{e^{3x}}{e^{-2y}} = e^{3x+2y},
que coincide com a EDO original.

Resposta

y(x) = -\tfrac12\,\ln\!\Bigl(C - \tfrac{2}{3}\,e^{3x}\Bigr),
com C constante arbitrária.

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