Obter as soluções gerais das EDO de 1{ }^{a} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO lineares de 1^{\text {a }} ordem, redutíveis à forma exata)
y^{\prime}+3 y=x+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem
y' + 3y = x + e^{-2x}
e depois verificar que a solução obtida de fato satisfaz essa equação. Vamos usar o método do fator integrante para EDO da forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde aqui P(x)=3 e Q(x)=x+e^{-2x}.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.
Multiplicando a EDO original por \mu(x) obtemos
e^{3x}y' + 3e^{3x}y = e^{3x}x + e^{3x}e^{-2x}.

Passo 3

O lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr) = e^{3x}x + e^{x}.
Agora integramos ambos os lados:
e^{3x}y = \int e^{3x}x\,dx \;+\;\int e^{x}\,dx + C.
Fazendo integração por partes em \int x e^{3x}dx: seja u=x, dv=e^{3x}dx, então
\int x e^{3x}dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}.
E
\int e^{x}dx = e^{x}.
Logo
e^{3x}y = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + e^{x} + C.

Passo 4

Isolando y dividindo por e^{3x}:
y(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{x-3x} + C\,e^{-3x} = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C\,e^{-3x}.

Passo 5

Verificamos substituindo y e y' na EDO original. Calculando
y' = \frac{1}{3} -2e^{-2x} -3C e^{-3x},
então
y' + 3y = \Bigl(\tfrac{1}{3}-2e^{-2x}-3C e^{-3x}\Bigr) +3\Bigl(\tfrac{x}{3}-\tfrac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x}\Bigr).
Ao desenvolver, os termos em C e constantes cancelam, restando
y' + 3y = x + e^{-2x},
exatamente o lado direito da EDO. Logo a solução está correta.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C\,e^{-3x},\quad C\in\mathbb{R}.}

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