Obter as soluções gerais das EDO de 1{ }^{a} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO lineares de 1^{\text {a }} ordem, redutíveis à forma exata)
x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 1ª ordem
x\,y' + 2\,y = \sin(x),
que é uma equação linear redutível à forma exata. Para isso vamos:
  1. escrever no formato padrão y' + p(x)y = q(x),
  2. encontrar o fator integrante,
  3. integrar e isolar y,
  4. verificar que a solução satisfaz a equação original.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por x (assumindo x\neq0):
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\sin(x)}{x}.
Aqui p(x)=2/x e q(x)=\sin(x)/x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln|x|) = x^2.

Passo 4

Multiplicando toda a equação padrão por x^2 obtemos
x^2\,y' + 2x\,y = x\,\sin(x),
que reconhecemos como derivada do produto x^2y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2y\bigr) = x\sin(x).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = \int x\sin(x)\,dx.
Para calcular \displaystyle\int x\sin(x)\,dx, usamos integração por partes com u=x, dv=\sin(x)\,dx:
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x) + C.
Logo
x^2y = -x\cos(x) + \sin(x) + C.

Passo 6

Isolando y vem
y(x) = \frac{-x\cos(x) + \sin(x) + C}{x^2}.

Passo 7

Verificamos que esta expressão satisfaz a EDO original, pois ao calcular
\displaystyle x\,y' + 2y e simplificar, recuperamos \sin(x). Portanto a função encontrada é de fato a solução geral.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{-x\cos(x) + \sin(x) + C}{x^2},\quad C\in\mathbb{R}.}

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