Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
d) (y - 2 * x * e^x - 6 * x^2) * dx + x * dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação no formato padrão de uma EDO de primeira ordem:
Comparando, temos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :

Passo 5

Vamos integrar termo por termo:
  1. (onde é tratado como constante em relação a )
  2. : aqui usamos integração por partes.
    • Seja e
    • Então, e
    • Aplicando integração por partes:
Juntando tudo:

Passo 6

Agora, encontramos a função derivando em relação a e igualando a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Portanto, a função potencial é:
Como , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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