Calcule os seguintes limites justificando sua resposta…
lim (x, y) (0,0) y x^2-8 x y+16 y-x^2+8 x-16y x-4 y-x+4

Passo 1

Vamos calcular o limite da função . Esse exercício envolve conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o numerador e o denominador da fração. Olhando para o numerador:
yx^2 - 8xy + 16y - x^2 + 8x - 16
Podemos agrupar termos semelhantes:
(yx^2 - x^2) + (-8xy + 8x) + (16y - 16)
x^2(y - 1) + 8x(-y + 1) + 16(y - 1)
(y - 1)(x^2 - 8x + 16)
Agora, fatorando x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 :
(y - 1)(x - 4)^2
Então, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
yx - 4y - x + 4
Podemos fatorar y(x - 4) -1(x - 4) em dois termos e (y - 1)(x - 4) nos outros:

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos reescrever a expressão original:
(y - 1)(x - 4)^2(y - 1)(x - 4)
Podemos cancelar o fator comum (x - 4)^2(x - 4) = x - 4 :

Passo 5

Agora, a expressão simplificada é lim (x, y) (0,0) (x - 4) = 0 - 4 = -4 . Vamos calcular o limite à medida que :

Resposta

O limite é .

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