Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) (3 x^2 - 2 x y + 2) dx + (6 y^2 - x^2 + 3) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada por:
Nosso objetivo é encontrar as soluções gerais dessa EDO e depois verificar se estão certinhas. Para isso, vamos ver se a equação é exata, ou seja, se existe uma função potencial que a descreve.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação:
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente calcula as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial . Começamos integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função de que aparece por causa da constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos pegar a derivada de em relação a e igualar a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão de :
Como queremos a solução geral, deixamos , onde é uma constante qualquer. Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados