Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
p) ((e^(y)+1)^2 e^(-y) dx + (e^(x)+1)^3 e^(-x) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de equações exatas. Isso porque a equação está na forma , e queremos verificar se ela é exata ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e :

Passo 3

Agora, para saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Primeiro, expandimos :
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Calculando :
Primeiro, expandimos :
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Comparando e :
Observamos que:
Percebemos que, na verdade, . Então, a equação não é exata.

Passo 7

Quando a equação não é exata, a gente pode procurar um fator integrante que multiplique a equação original e a torne exata. Vamos tentar encontrar esse fator.
Assumindo que o fator integrante depende apenas de ou apenas de , vamos tentar .

Passo 8

Multiplicando a equação original por :
Queremos que seja exata, assim:
Computando a derivada:
Para que isso seja válido para todas as e , precisamos que:

Passo 9

Calcular o lado direito:
Percebemos que isso é complicado e não depende apenas de . Então, vamos assumir que nosso método inicial não é o mais adequado e buscar outra abordagem, como talvez encontrar uma solução por separação de variáveis ou outra técnica.

Passo 10

Observe que a equação pode ser escrita como:
Agora, podemos tentar separar as variáveis e :

Passo 11

Integramos ambos os lados:

Passo 12

Resolvendo a integral do lado esquerdo:
Faça a substituição , então . Assim:

Passo 13

Resolvendo a integral do lado direito:
Faça a substituição , então . Assim:

Passo 14

Igualando as integrais:
Podemos simplificar rearranjando os termos:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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