Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
k) x * y^2 * y' = y^3 - x^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:

Para isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs homogêneas e substituição adequada. Precisamos lembrar como identificar equações homogêneas e como aplicar a substituição .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar isolado:

Isso nos ajuda a ver melhor a estrutura da equação.

Passo 3

Observamos que a equação é homogênea de grau zero (o grau de e é 3, e o denominador também tem grau 3). Isso indica que podemos usar a substituição .

Passo 4

Com , temos . Vamos derivar ambos os lados em relação a :

Substituindo isso na equação original:

Passo 5

Vamos isolar :

Então:

Passo 6

Agora, essa equação é separável. Vamos separar as variáveis e :

Pronto para integrar!

Passo 7

Integrando ambos os lados:

Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos substituir de volta :

Multiplicando os dois lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

onde é uma constante real arbitrária.

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