Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) x/y * dy/dx - y/x - 1 = 0;

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de 1ª ordem dada por:
Para resolver essa EDO, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituição. Essas ferramentas nos ajudarão a reorganizar a equação de forma a encontrar a solução geral para em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais simples. Começamos isolando :
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Observamos que a equação resultante é não-linear devido ao termo . Para simplificar, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Dessa forma, podemos expressar como:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Rearranjamos a equação para separar as variáveis e :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, separamos as variáveis e :

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados