Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1{ }^{\text {a }} ordem separáveis)
e^{y} \operatorname{sen}(2 x) d x+\left(e^{2 y}-y\right) \cos (x) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de 1ª ordem
e^{y}\sin(2x)\,dx + \bigl(e^{2y}-y\bigr)\cos(x)\,dy = 0
e pede a solução geral. Como é separável, vamos escrever em forma \displaystyle \frac{dy}{dx}= \dots e separar variáveis x e y.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
e^{y}\sin(2x) + \bigl(e^{2y}-y\bigr)\cos(x)\,\frac{dy}{dx} = 0
Logo
\frac{dy}{dx} \;=\; -\,\frac{e^{y}\,\sin(2x)}{\bigl(e^{2y}-y\bigr)\,\cos(x)}.
Isolando termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\,dy = -\,\frac{\sin(2x)}{\cos(x)}\,dx.

Passo 3

Note que
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}} = e^{y} \;-\; y\,e^{-y},
e que
\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} = 2\,\sin(x).
Logo a separação fica
\bigl(e^{y}-y\,e^{-y}\bigr)\,dy = -\,2\,\sin(x)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Primeiro o lado em y:
\int\bigl(e^{y}-y\,e^{-y}\bigr)\,dy = \int e^{y}\,dy \;-\;\int y\,e^{-y}\,dy.

Passo 5

Calculando as integrais em y:
\int e^{y}\,dy = e^{y},
e por partes em \displaystyle \int y\,e^{-y}\,dy: tome u=y, dv=e^{-y}dy, então du=dy, v=-e^{-y}. Assim
\int y\,e^{-y}\,dy = -y\,e^{-y} - e^{-y} = -\,(y+1)\,e^{-y}.
Portanto
\int\bigl(e^{y}-y\,e^{-y}\bigr)\,dy = e^{y} -\bigl[-(y+1)e^{-y}\bigr] = e^{y} + (y+1)e^{-y}.

Passo 6

Agora integramos o lado em x:
\int -\,2\,\sin(x)\,dx = 2\,\cos(x) + C.

Passo 7

Igualando resultados das integrais, obtemos a solução implícita geral
e^{y} + (y+1)\,e^{-y} = 2\,\cos(x) + C.

Passo 8

Verificação rápida: derivando implicitamente em x a relação
e^{y} + (y+1)\,e^{-y} - 2\cos(x) - C = 0
e reorganizando, recupera-se exatamente
e^{y}\sin(2x)\,dx + \bigl(e^{2y}-y\bigr)\cos(x)\,dy = 0,
confirmando que a fórmula encontrada é de fato solução da EDO.

Resposta

e^{y} + (y+1)\,e^{-y} = 2\,\cos(x) + C.

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