Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1^{\text {a }} ordem exatas)
5 x+4 y+\left(4 x-8 y^{3}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de 1ª ordem
5x + 4y + \bigl(4x - 8y^{3}\bigr)\,y' = 0
e a verificação de que a solução encontrada realmente satisfaz a equação. Como a equação está na forma
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0,
verificamos se é exata, obtemos a função potencial \psi(x,y), escrevemos a solução implícita \psi(x,y)=C e depois derivamos implicitamente para confirmar.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 5x + 4y, \qquad N(x,y) = 4x - 8y^3.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) tal que \psi_x = M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int \bigl(5x + 4y\bigr)\,dx = \frac{5}{2}x^2 + 4xy + h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos \psi_y = N. Calculamos
\psi_y = 4x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=4x - 8y^3, obtendo
4x + h'(y) = 4x - 8y^3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -8y^3.
Integramos em y:
h(y) = \int -8y^3\,dy = -2y^4 + C_1.
Podemos absorver a constante C_1 no C da solução geral.

Passo 5

Assim, a função potencial é
\psi(x,y) = \frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4.
A solução geral implícita da EDO é
\frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4 = C.

Passo 6

Verificação: derivando implicitamente
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{5}{2}x^2+4xy-2y^4\Bigr) = 5x + 4y + \bigl(4x - 8y^3\bigr)y' = 0,
que coincide com a EDO original. Logo, a solução encontrada está correta.

Resposta

A solução geral é
\frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4 = C,
onde C é constante arbitrária.

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