Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1^{\text {a }} ordem exatas)
\left(1-\frac{3}{x}+y\right) d x+\left(1-\frac{3}{y}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a EDO de primeira ordem exata
\bigl(1 - \tfrac{3}{x} + y\bigr)\,dx + \bigl(1 - \tfrac{3}{y} + x\bigr)\,dy = 0
e pede a solução geral. Para isso vamos identificar
M(x,y)=1 - \tfrac{3}{x} + y, \quad N(x,y)=1 - \tfrac{3}{y} + x
e usar o fato de que, se a EDO é exata, existe uma função potencial F(x,y) com
\frac{\partial F}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=N,
de modo que dF=0 dá a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1 - \tfrac{3}{x} + y\bigr)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1 - \tfrac{3}{y} + x\bigr)=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\int\bigl(1 - \tfrac{3}{x} + y\bigr)\,dx = \int 1\,dx -3\int \tfrac{1}{x}\,dx + y\int 1\,dx = x -3\ln\lvert x\rvert + xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Como a função potencial é
F(x,y)=x -3\ln\lvert x\rvert + xy + h(y),
temos
\frac{\partial F}{\partial y} = x + h'(y)
e isso deve ser igual a N(x,y)=1-3/y+x. Logo
x + h'(y)=1-\tfrac{3}{y}+x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=1-\tfrac{3}{y}.
Integrando em y:
h(y)=\int\Bigl(1-\tfrac{3}{y}\Bigr)dy = y -3\ln\lvert y\rvert + \text{constante}.

Passo 5

Substituindo h(y) em F, obtemos a função potencial completa:
F(x,y) = x -3\ln\lvert x\rvert + xy + y -3\ln\lvert y\rvert = xy + x + y -3\ln\lvert x\rvert -3\ln\lvert y\rvert.
A solução geral implícita da EDO é
F(x,y)=C,
ou seja
xy + x + y -3\ln\lvert x\rvert -3\ln\lvert y\rvert = C.

Passo 6

Para verificar, derivamos F:
\frac{\partial F}{\partial x} = y + 1 - \frac{3}{x}=M, \qquad \frac{\partial F}{\partial y} = x + 1 - \frac{3}{y}=N.
Como recuperamos exatamente M\,dx+N\,dy=0, confirmamos que a família de curvas
xy + x + y -3\ln\lvert x\rvert -3\ln\lvert y\rvert = C
é a solução geral da EDO.

Resposta

A solução geral é
xy + x + y -3\ln\lvert x\rvert -3\ln\lvert y\rvert = C.

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