Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de
ordem exatas)
Passo 1
O enunciado fornece a EDO de primeira ordem exata
e pede a solução geral. Para isso vamos identificar
e usar o fato de que, se a EDO é exata, existe uma função potencial
com
de modo que
dá a solução implícita
.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a EDO é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Como a função potencial é
temos
e isso deve ser igual a
. Logo
Integrando em
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita da EDO é
ou seja
Passo 6
Para verificar, derivamos
:
Como recuperamos exatamente
, confirmamos que a família de curvas
é a solução geral da EDO.
Resposta
A solução geral é