Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1^{\text {a }} ordem exatas)
\left[3 x y^{2}+2 y \cos (x)\right] d y=\left[y^{2} \operatorname{sen}(x)+x-y^{3}\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem exata
\bigl[3x y^{2}+2y\cos(x)\bigr]\,dy = \bigl[y^{2}\sin(x)+x - y^{3}\bigr]\,dx
e pede a solução geral e verificação. Vamos reescrevê-la na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=y^{2}\sin(x)+x - y^{3},\quad N(x,y)=-\bigl[3x y^{2}+2y\cos(x)\bigr].

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, comparando
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =2y\sin(x)-3y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} =-\bigl[3y^{2}-2y\sin(x)\bigr] =2y\sin(x)-3y^{2}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(y^{2}\sin(x)+x - y^{3}\bigr)\,dx =-y^{2}\cos(x)+\frac{x^{2}}{2}-x\,y^{3}+h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Impondo
\frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)
temos, por diferenciação,
\frac{\partial \psi}{\partial y} =-2y\cos(x)-3x y^{2}+h'(y) \quad\stackrel!=\quad -\bigl[3x y^{2}+2y\cos(x)\bigr].
Daí h'(y)=0, logo h(y)=C (constante).

Passo 5

A solução geral implícita é
\psi(x,y) =-y^{2}\cos(x)+\frac{x^{2}}{2}-x\,y^{3}=C,
isto é,
\frac{x^{2}}{2}-x\,y^{3}-y^{2}\cos(x)=C.

Passo 6

Para verificar, diferenciamos implicitamente
d\psi =\bigl(y^{2}\sin(x)+x-y^{3}\bigr)\,dx +\bigl[-2y\cos(x)-3x y^{2}\bigr]\,dy=0,
que é exatamente a forma original
\bigl[y^{2}\sin(x)+x-y^{3}\bigr]dx=\bigl[3x y^{2}+2y\cos(x)\bigr]dy. Assim, confirmamos que a relação encontrada é solução da EDO.

Resposta

\boxed{\frac{x^{2}}{2}-x\,y^{3}-y^{2}\cos(x)=C.}

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