Obter as soluções gerais das EDO de 1^{\text {a }} ordem e proceder as verificações dessas soluções, concluindo se a relação ou função encontrada é, de fato, solução da EDO. (Todas são EDO de 1^{\text {a }} ordem exatas)
2 x y^{2}+2 y+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
2x y^{2} + 2y + \bigl(2x^{2}y + 2x\bigr)y' = 0,
que é uma equação exata, isto é, pode ser escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 2x y^{2} + 2y, \quad N(x,y) = 2x^{2}y + 2x.
Vamos usar o teste de exatidão e depois encontrar a função potencial \psi(x,y).

Passo 2

Verificamos exatidão computando
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x y^{2} + 2y\bigr) = 4x y + 2,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y + 2x\bigr) = 4x y + 2.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int \bigl(2x y^{2} + 2y\bigr)\,dx = x^{2}y^{2} + 2xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Então exigimos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 2x^{2}y + 2x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = 2x^{2}y + 2x,
o que leva a h'(y)=0 e, portanto, h(y)= constante.

Passo 4

A solução geral implícita é
\psi(x,y) = x^{2}y^{2} + 2xy = C,
com C constante arbitrária.

Passo 5

Podemos, se quisermos, resolver explicitamente para y. A relação
x^{2}y^{2} + 2xy - C = 0
é uma equação quadrática em y. Usando fórmula de Bhaskara, obtemos
y(x) = \frac{-2x \pm \sqrt{4x^{2} + 4Cx^{2}}}{2x^{2}} = \frac{-2x \pm 2x\sqrt{1 + C}}{2x^{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + C}}{x}.

Passo 6

Verificação: derivamos implicitamente
x^{2}y^{2} + 2xy = C
em relação a x:
2x y^{2} + x^{2}\cdot 2y\,y' + 2y + 2x\,y' = 0
\bigl(2x y^{2} + 2y\bigr) + \bigl(2x^{2}y + 2x\bigr)y' = 0,
que coincide com a EDO original. Logo a solução está correta.

Resposta

A solução geral implícita é
x^{2}y^{2} + 2xy = C,
ou explicitamente
y(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + C}}{x}.

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