Obter a transformada inversa de
z^-3(1-z^-1)(1-0.2 z^-1)
em uma forma fechada.

Passo 1

Beleza, o desafio é achar a transformada inversa de
X(z)=z^-3(1-z^-1)(1-0.2,z^-1)
Isso é parte de Z-transformadas, e a gente vai usar dois macetes:
  1. os pares básicos pra sequências geométricas e
  2. a propriedade de atraso (multiplicar por z^-k vira um atraso de k amostras).

Passo 2

Propriedade de atraso: se
G(z);long<=ftrightarrow;g[n],
então
z^-k,G(z);long<=ftrightarrow;g[n-k]
No nosso caso dá pra reescrever
X(z) =z^-3(1-z^-1)(1-0.2,z^-1) = z^-2;z^-1(1-z^-1)(1-0.2,z^-1)
Ou seja, é a transformada
G(z)=z^-1(1-z^-1)(1-0.2,z^-1)
atrasada de 2 unidades.

Passo 3

Agora encontramos g[n]= Z^-1G(z). Lembra que:
  • Za^n u[n]=11-a,z^-1.
  • Para dois polos distintos z^-1(1-a,z^-1)(1-b,z^-1) ;long<=ftrightarrow; a^n - b^na-b,u[n]
Aqui a=1 e b=0.2, então
g[n] = 1^n - 0.2^n1-0.2,u[n] = 1 - 0.2^n0.8,u[n]

Passo 4

Por fim, aplicamos o atraso de 2 amostras:
x[n] = g[n-2] = 1 - 0.2^,n-20.8,u[n-2]

Resposta

x[n] = 1 - 0.2^,n-20.8;u[n-2]

Exercícios relacionados