Achar a solução para a seguinte equação de diferença:
x(k+2)-1.3 x(k+1)+0.4 x(k)=u(k)
onde x(0)=x(1)=0 e x(k)=0 para k<0. Para a função de entrada u(k), considerar a função impulso unitário
u(k)= 1, & k=0 0 & k neq 0
Resolver o problema
(a) analiticamente
(b) e pelo método da eq. de diferença para k=0, ldots, 4.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos a equação de diferença
x(k+2) - 1.3,x(k+1) + 0.4,x(k) = u(k)
com condições iniciais , e é impulso unitário ( , senão zero).
Conteúdo: equações de diferença lineares, encontrar solução homogênea + solução particular e depois aplicar condições iniciais.

Passo 2

Primeiro a gente resolve a parte homogênea, isto é, considera
xh(k+2) - 1.3,xh(k+1) + 0.4,xh(k) = 0
Aí montamos a equação característica
r^2 - 1.3,r + 0.4 = 0
Calculando as raízes:
De
r1,2 = 1.3 pm raiz0.092 = l,0.8,,0.5r
Então a solução homogênea é
xh(k) = C1,(0.8)^k ;+; C2,(0.5)^k

Passo 3

Agora achamos uma solução particular para o xp(k)=A,de.
Como é um impulso, a gente supõe algo do tipo
xp(2)-1.3,xp(1)+0.4,xp(0)=1 ;Rightarrow; 0 -1.3,B +0.4,A =1
porque a ordem da equação é 2. Substituindo em xp(3)-1.3,xp(2)+0.4,xp(1)=0 ;Rightarrow; 0 -1.3cdot0 +0.4,B =0 ;Rightarrow;B=0 e xp(k)=2.5,de:
  • Para :
  • Para :
Daí e de vem .
Logo

Passo 4

A solução geral é
x(k) = xh(k) + xp(k) = C1,(0.8)^k + C2,(0.5)^k + 2.5,de
Impondo C1 + C2 + 2.5 = 0, 0.8,C1 + 0.5,C2 + 0 = 0 e -0.625,C2 + C2 + 2.5 =0 ;Rightarrow;0.375,C2 = -2.5 ;Rightarrow;C2 = -tfrac203,; C1 = tfrac256 :
boxed x(k) ;=; 256,(0.8)^k ;-;203,(0.5)^k ;+;2.5,de
Da segunda: . Substituindo na primeira:
Então
Isso é a solução analítica (lembra que só mexe em ).

Passo 5

Para x(k+2)=1.3,x(k+1)-0.4,x(k) , vamos usar a própria equação de diferença pra achar x(3)&=1.3,x(2)-0.4,x(1)=1.3cdot1 - 0.4cdot0 =1.3, x(4)&=1.3,x(3)-0.4,x(2)=1.3cdot1.3 -0.4cdot1 =1.69 - 0.4 =1.29 até .
Como só é não-zero em e , já são dadas como zero, fazemos:
  • :
  • Para , , então Assim:

Resposta

(a) Solução analítica:
x(k) ;=; 256,(0.8)^k ;-;203,(0.5)^k ;+;2.5,de
(b) Valores para x(0)=0, x(1)=0, x(2)=1, x(3)=1.3, x(4)=1.29 :

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