Achar a solução para a seguinte equação de diferença:
onde
e
para
. Para a função de entrada
, considerar a função impulso unitário
Resolver o problema
(a) analiticamente
(b) e pelo método da eq. de diferença para
.
(a) analiticamente
(b) e pelo método da eq. de diferença para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos a equação de diferença
com condições iniciais
,
e
é impulso unitário (
, senão zero).
Conteúdo: equações de diferença lineares, encontrar solução homogênea + solução particular e depois aplicar condições iniciais.
Conteúdo: equações de diferença lineares, encontrar solução homogênea + solução particular e depois aplicar condições iniciais.
Passo 2
Primeiro a gente resolve a parte homogênea, isto é, considera
Aí montamos a equação característica
Calculando as raízes:
Então a solução homogênea é
Passo 3
Agora achamos uma solução particular para o
.
Como é um impulso, a gente supõe algo do tipo
Como é um impulso, a gente supõe algo do tipo
porque a ordem da equação é 2. Substituindo em
e
:
- Para
: - Para
:
Daí
e de
vem
.
Logo
Logo
Passo 4
A solução geral é
Impondo
e
:
Da segunda:
. Substituindo na primeira:
Então
Isso é a solução analítica (lembra que
só mexe em
).
Passo 5
Para
, vamos usar a própria equação de diferença pra achar
até
.
Como só é não-zero em
e
,
já são dadas como zero, fazemos:
Como
-
:
- Para
, , então Assim:
Resposta
(a) Solução analítica:
(b) Valores para
: