Obter a transformada z de x(k)=sumn=0^k a^n, sendo a uma constante;

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z de
x(k)=sumn=0^ka^n,, a constante
Estamos em Álgebra/Processamento de Sinais discreto, e para resolver vamos precisar de:
1. Definição da Transformada Z: X(z)=sumk=0^inftyx(k),z^-k.
2. Soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição da Transformada Z:
X(z)=sumk=0^inftyx(k),z^-k,
Ou seja, a gente vai pegar x(k) e “jogar” numa soma infinita pesando por z^-k. Para convergir, depois vamos ver a condição em z.

Passo 3

Antes de aplicar direto na soma infinita, vale achar uma forma fechada de x(k)=sumn=0^k a^n.
Pelo resultado clássico de série geométrica (para aneq1):
sumn=0^k a^n=1-a^,k+11-a,
Logo
x(k)=1-a^,k+11-a,

Passo 4

Substituindo na definição de X(z):
X(z)=sumk=0^infty1-a^,k+11-a;z^-k =11-asumk=0^inftyl(1 - a^,k+1r)z^-k
Agora dividimos em duas somas:
X(z)=11-agl[sumk=0^inftyz^-k;-;sumk=0^inftya^,k+1z^-kgr]

Passo 5

Cada uma é série geométrica:
  1. sumk=0^inftyz^-k=11-z^-1; para |z|>1.
  2. sumk=0^inftya^,k+1z^-k =asumk=0^infty(a,z^-1)^k =a1-a,z^-1; para |z|>|a|.
Então
X(z)=11-al[11-z^-1-a1-a,z^-1r]

Passo 6

Vamos simplificar juntando frações. Primeiro escrevendo em termos de z:
11-z^-1=zz-1, a1-a,z^-1=a,zz-a
Logo
X(z)=11-al[zz-1-a,zz-ar] =z^2(z-1)(z-a),
onde usamos que, ao colocar tudo no mesmo denominador, o numerador vira z^2(1-a) que cancela com o (1-a) do denominador externo.

Resposta

boxedX(z)=z^2(z-1)(z-a), para |z|>max1,|a|

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