Mostre também que para qualquer estado inicial x(0) todo vetor de estado pode ser levado a origem em no máximo 4 períodos de amostragem se e so se o sinal de controle for dado por
u(k)=-C x(k)

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre uma coisa bem clássica de controles discretos: num sistema
x(k+1)=A,x(k)+B,u(k),,
você consegue mandar qualquer estado inicial u(k)=-C,x(k), para a origem em, no máximo, 4 amostras se e só se usar a lei de controle
x(k+1)=(A-B,C),x(k)
O assunto é “controle deadbeat” (isto é, mandar tudo a zero em tempo finito) e a ideia-chave é ver que o fechado–laço
fica nilpotente de ordem 4, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender:
  1. como fica a dinâmica em malha fechada;
  2. o que significa uma matriz ser nilpotente;
  3. por que nilpotente de grau 4 gera exatamente “matar” o estado em 4 passos;
  4. e por que, se algum outro controle matasse em 4 passos para todo , isso já implicaria .

Passo 2

Supondo a lei de controle
u(k)=-C,x(k),,
a equação de estados passa a ser
x(k+1)=A,x(k)+Bl(-C,x(k)r)=(A-B,C),x(k),
Definimos a matriz fechada–laço como
Arm cl=A-B,C,
A iteração fica então
x(k)=Arm cl^k,x(0),

Passo 3

Teoria do nilpotente:
  • Dizemos que uma matriz M^m=0 é nilpotente de índice x(4)=Arm cl^4,x(0)=0, quando mas .
  • Se , então para qualquer
Ou seja, em no máximo 4 passos estamos na origem. É isso que chamamos de controle deadbeat de ordem 4.

Passo 4

Agora o “só se”: suponha que, qualquer que seja Arm cl^4,x(0)=0forall,x(0), , temos (A-B,C)^4=0, .
Isso significa
u(k)=-C,x(k)com(A-B,C)^4=0,
A única forma de uma matriz anular todo vetor é sendo a própria matriz zero, ou seja
Logo, só quem garante essa propriedade de “todo estado vai a zero em 4 amostras” é exatamente a lei de controle

Resposta

O sinal de controle que leva qualquer estado inicial à origem em, no máximo, 4 períodos de amostragem é
u(k)=-C,x(k),
com a condição de projeto
(A - B,C)^4 ;=;0

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