Mostre também que para qualquer estado inicial
todo vetor de estado pode ser levado a origem em no máximo 4 períodos de amostragem se e so se o sinal de controle for dado por
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente mostre uma coisa bem clássica de controles discretos: num sistema
você consegue mandar qualquer estado inicial
para a origem em, no máximo, 4 amostras se e só se usar a lei de controle
O assunto é “controle deadbeat” (isto é, mandar tudo a zero em tempo finito) e a ideia-chave é ver que o fechado–laço
fica nilpotente de ordem 4, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender:
- como fica a dinâmica em malha fechada;
- o que significa uma matriz ser nilpotente;
- por que nilpotente de grau 4 gera exatamente “matar” o estado em 4 passos;
- e por que, se algum outro controle matasse em 4 passos para todo
, isso já implicaria .
Passo 2
Supondo a lei de controle
a equação de estados passa a ser
Definimos a matriz fechada–laço como
A iteração fica então
Passo 3
Teoria do nilpotente:
- Dizemos que uma matriz
é nilpotente de índice quando mas . - Se
, então para qualquer
Ou seja, em no máximo 4 passos estamos na origem. É isso que chamamos de controle deadbeat de ordem 4.
Passo 4
Agora o “só se”: suponha que, qualquer que seja
, temos
.
Isso significa
Isso significa
A única forma de uma matriz
anular todo vetor
é sendo a própria matriz zero, ou seja
Logo, só quem garante essa propriedade de “todo estado vai a zero em 4 amostras” é exatamente a lei de controle
Resposta
O sinal de controle que leva qualquer estado inicial à origem em, no máximo, 4 períodos de amostragem é
com a condição de projeto