[ 1,0 ] Obter o vetor \vec{m} sabendo que
\begin{gathered} \vec{m} \times \vec{u}=\vec{v}, \quad\|\vec{m}\|=3, \\\ \vec{v}=(1,-2,2), \quad \text { e } \quad \vec{u}=(0,1,1) . \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor \vec{m} sabendo as seguintes informações:
\vec{m}\times\vec{u}=\vec{v},\qquad \|\vec{m}\|=3,
com
\vec{v}=(1,-2,2),\qquad \vec{u}=(0,1,1).
Ou seja: quero todos os vetores \vec{m} que satisfazem a igualdade do produto vetorial com \vec{u} e têm norma 3. As informações relevantes são os componentes de \vec{u} e \vec{v} e a condição de norma.

Passo 2

Vamos escrever \vec{m} em componentes desconhecidas:
\vec{m}=(x,y,z),
onde x,y,z são os números reais que precisamos achar.
Lembrete (fórmula do produto vetorial, bem mastigada): para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Aqui cada componente é uma combinação dos componentes de \vec{a} e \vec{b} — é a maneira padrão de calcular o produto vetorial coordenada a coordenada.
Usando essa fórmula com \vec{m}=(x,y,z) e \vec{u}=(0,1,1) (peguei os valores de \vec{u} do enunciado), obtemos:
\vec{m}\times\vec{u}=(y\cdot 1-z\cdot 1,\; z\cdot 0 - x\cdot 1,\; x\cdot 1 - y\cdot 0).
Simplificando cada componente:
\vec{m}\times\vec{u}=(y-z,\; -x,\; x).

Passo 3

Como \vec{m}\times\vec{u}=\vec{v} e \vec{v}=(1,-2,2), igualamos componente a componente:
y-z=1,
-x=-2,
x=2.
Da segunda equação vem imediatamente x=2, que coincide com a terceira (boas notícias: consistente).

Passo 4

Agora usamos a condição da norma. A norma (comprimento) de \vec{m}=(x,y,z) é
\|\vec{m}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
A condição \|\vec{m}\|=3 implica, ao elevar ao quadrado (procedimento seguro aqui porque norma é não negativa),
x^2+y^2+z^2=9.
Substituindo x=2 obtemos
4+y^2+z^2=9\quad\Rightarrow\quad y^2+z^2=5.

Passo 5

Temos o sistema (duas equações simples para y,z):
y-z=1,
y^2+z^2=5.
Da primeira isolamos y:
y=z+1.
Substituindo na segunda:
(z+1)^2+z^2=5.
Expandindo:
z^2+2z+1+z^2=5 \quad\Rightarrow\quad 2z^2+2z-4=0.
Dividindo por 2:
z^2+z-2=0.
Fatorando o polinômio:
(z+2)(z-1)=0,
logo as soluções são
z=1\quad\text{ou}\quad z=-2.

Passo 6

Agora achamos y em cada caso usando y=z+1:
  • Se z=1, então y=1+1=2.
  • Se z=-2, então y=-2+1=-1.
E já tínhamos x=2. Portanto as duas possíveis soluções são
\vec{m}_1=(2,2,1)\quad\text{e}\quad \vec{m}_2=(2,-1,-2).

Passo 7

Verificação rápida (importante para prova): calcular \vec{m}\times\vec{u} para cada candidato e a norma.
  • Para \vec{m}_1=(2,2,1): \vec{m}_1\times\vec{u}=(2-1,\; -2,\; 2)=(1,-2,2)=\vec{v},e \|\vec{m}_1\|=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
  • Para \vec{m}_2=(2,-1,-2): \vec{m}_2\times\vec{u}=(-1-(-2),\; -2,\; 2)=(1,-2,2)=\vec{v},e \|\vec{m}_2\|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Ambos satisfazem as condições, então são as soluções finais.

Resposta

\vec{m}=(2,2,1)
\vec{m}=(2,-1,-2)

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