[ 1,0 ] Obter o vetor
sabendo que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o vetor
sabendo as seguintes informações:
com
Ou seja: quero todos os vetores
que satisfazem a igualdade do produto vetorial com
e têm norma
. As informações relevantes são os componentes de
e
e a condição de norma.
Passo 2
Vamos escrever
em componentes desconhecidas:
onde
são os números reais que precisamos achar.
Lembrete (fórmula do produto vetorial, bem mastigada): para
e
,
Aqui cada componente é uma combinação dos componentes de
e
— é a maneira padrão de calcular o produto vetorial coordenada a coordenada.
Usando essa fórmula com
e
(peguei os valores de
do enunciado), obtemos:
Simplificando cada componente:
Passo 3
Como
e
, igualamos componente a componente:
Da segunda equação vem imediatamente
, que coincide com a terceira (boas notícias: consistente).
Passo 4
Agora usamos a condição da norma. A norma (comprimento) de
é
A condição
implica, ao elevar ao quadrado (procedimento seguro aqui porque norma é não negativa),
Substituindo
obtemos
Passo 5
Temos o sistema (duas equações simples para
):
Da primeira isolamos
:
Substituindo na segunda:
Expandindo:
Dividindo por
:
Fatorando o polinômio:
logo as soluções são
Passo 6
Agora achamos
em cada caso usando
:
- Se
, então . - Se
, então .
E já tínhamos
. Portanto as duas possíveis soluções são
Passo 7
Verificação rápida (importante para prova): calcular
para cada candidato e a norma.
- Para
: e . - Para
: e .
Ambos satisfazem as condições, então são as soluções finais.