Em uma oficina de manutenção de máquinas agrícolas, uma prateleira de aço é montada para armazenar peças pesadas, como engrenagens e rolamentos. A prateleira é uma viga de perfil retangular maciço com 40 mm de base e 80 mm de altura, simplesmente apoiada em um vão de
. A carga das peças pode ser considerada uniformemente distribuída ao longo do comprimento, totalizando
. Sabendo que o aço utilizado tem uma tensão normal admissível de
150 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível de
, verifique se o perfil é seguro para esta aplicação, determinando:
a) A tensão normal máxima na viga (
).
b) A tensão de cisalhamento máxima na viga (
).
a) A tensão normal máxima na viga (
b) A tensão de cisalhamento máxima na viga (
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar tudinho para a gente não se perder):
-
Perguntas:
- (a) Determinar a tensão normal máxima na viga,
. - (b) Determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga,
.
- (a) Determinar a tensão normal máxima na viga,
-
Dados que o enunciado dá:
- Viga simplesmente apoiada com vão
. - Carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento
. - Seção retangular maciça com base
e altura . - Tensão normal admissível
. - Tensão de cisalhamento admissível
.
- Viga simplesmente apoiada com vão
-
Observações de unidade (vamos usar N e mm para as fórmulas de seção):
-
. - Convertendo momentos para
: .
-
Passo 2
Cálculo do momento fletor máximo para carga uniformemente distribuída em viga simplesmente apoiada.
-
Fórmula conhecida (resultado clássico para essa configuração):(Essa fórmula vem do equilíbrio do momento ao longo da viga para carga distribuída; o máximo ocorre no meio do vão.)
-
Substituindo valores (usar
em e em ): -
Converter para
:
Passo 3
Fórmula da tensão de flexão e momento de inércia da seção retangular.
-
Fórmula da tensão normal por flexão (fórmula de Navier/Bernoulli para flexão):onde
-
é o momento fletor na seção (em ), -
é a distância do centro neutro até a fibra onde se quer a tensão (em ), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (em ).
-
-
Para a seção retangular (base
, altura ): Explicando:mede a “resistência geométrica” da seção à flexão; quanto maior , menor a tensão para um mesmo momento. -
Calcular
com e : -
Distância à fibra mais externa (máxima tensão):
.
Passo 4
Cálculo numérico da tensão normal máxima
.
-
Aplicando
: -
Calculando:
-
Comparação com admissível:Conclusão provisória: a tensão de flexão está muito abaixo da admissível (ou seja, segura quanto à tração/compressão).
Passo 5
Cálculo da força cortante máxima e fórmula para tensão de cisalhamento em seção retangular.
-
Força cortante máxima para viga simplesmente apoiada com carga distribuída:(O valor máximo ocorre próximo aos apoios; esse é o valor absoluto da reação interna de corte.)
-
Substituindo:
-
Fórmula geral para tensão cortante transversal numa seção qualquer:onde
-
é a força cortante na seção ( ), -
é o primeiro momento de área da porção da seção que está acima (ou abaixo) da linha onde se calcula (em ), -
é o momento de inércia da seção ( ), -
é a largura da seção na linha considerada (em ).
-
-
Para o máximo da tensão de cisalhamento em seção retangular, esse máximo ocorre no eixo neutro e pode-se usar o resultado simplificado:onde
é a área da seção. (Se quiser ver por que: para retângulo, . Substituindo em e usando chega-se a .)
Passo 6
Cálculo numérico da tensão de cisalhamento máxima
.
-
Área da seção:
-
Aplicando a fórmula simplificada:
-
Calculando:
-
Arredondando razoavelmente:
-
Comparação com admissível:Conclusão provisória: a tensão de cisalhamento também está muito abaixo da admissível (muitíssimo segura).
Passo 7
Conclusão final (síntese): ambas as tensões calculadas são muito menores que as admissíveis fornecidas, logo o perfil é seguro para a aplicação indicada quanto a flexão e cisalhamento.