Em uma oficina de manutenção de máquinas agrícolas, uma prateleira de aço é montada para armazenar peças pesadas, como engrenagens e rolamentos. A prateleira é uma viga de perfil retangular maciço com 40 mm de base e 80 mm de altura, simplesmente apoiada em um vão de 2,00 \mathrm{~m}. A carga das peças pode ser considerada uniformemente distribuída ao longo do comprimento, totalizando 1,2 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Sabendo que o aço utilizado tem uma tensão normal admissível de \sigma_{a d m}= 150 MPa e uma tensão de cisalhamento admissível de \tau_{a d m}=75 \mathrm{MPa}, verifique se o perfil é seguro para esta aplicação, determinando:
a) A tensão normal máxima na viga ( \sigma_{\text {má } x}á ).
b) A tensão de cisalhamento máxima na viga ( \tau_{\text {máx }}á ).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar tudinho para a gente não se perder):
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a tensão normal máxima na viga, \sigma_{\text{máx}}á.
    • (b) Determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga, \tau_{\text{máx}}á.
  • Dados que o enunciado dá:
    • Viga simplesmente apoiada com vão L = 2{,}00\\ \mathrm{m}.
    • Carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento w = 1{,}2\\ \mathrm{kN/m}.
    • Seção retangular maciça com base b = 40\\ \mathrm{mm} e altura h = 80\\ \mathrm{mm}.
    • Tensão normal admissível \sigma_{adm} = 150\\ \mathrm{MPa}.
    • Tensão de cisalhamento admissível \tau_{adm} = 75\\ \mathrm{MPa}.
  • Observações de unidade (vamos usar N e mm para as fórmulas de seção):
    • w = 1{,}2\\ \mathrm{kN/m} = 1200\\ \mathrm{N/m}.
    • Convertendo momentos para \mathrm{N\cdot mm}: 1\\ \mathrm{N\cdot m} = 1000\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 2

Cálculo do momento fletor máximo para carga uniformemente distribuída em viga simplesmente apoiada.
  • Fórmula conhecida (resultado clássico para essa configuração):
    M_{\text{máx}}=\frac{wL^{2}}{8}.á
    (Essa fórmula vem do equilíbrio do momento ao longo da viga para carga distribuída; o máximo ocorre no meio do vão.)
  • Substituindo valores (usar w em \mathrm{N/m} e L em \mathrm{m}):
    M_{\text{máx}}=\frac{1200\cdot(2{,}00)^{2}}{8}=\frac{1200\cdot4}{8}=600\\ \mathrm{N\cdot m}.á
  • Converter para \mathrm{N\cdot mm}:
    M_{\text{máx}}=600\\ \mathrm{N\cdot m}=600\cdot1000=600000\\ \mathrm{N\cdot mm}.á

Passo 3

Fórmula da tensão de flexão e momento de inércia da seção retangular.
  • Fórmula da tensão normal por flexão (fórmula de Navier/Bernoulli para flexão):
    \sigma=\frac{M\,y}{I},
    onde
    • M é o momento fletor na seção (em \mathrm{N\cdot mm}),
    • y é a distância do centro neutro até a fibra onde se quer a tensão (em \mathrm{mm}),
    • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (em \mathrm{mm^{4}}).
  • Para a seção retangular (base b, altura h):
    I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
    Explicando: I mede a “resistência geométrica” da seção à flexão; quanto maior I, menor a tensão para um mesmo momento.
  • Calcular I com b=40\\ \mathrm{mm} e h=80\\ \mathrm{mm}:
    I=\frac{40\cdot80^{3}}{12}=\frac{40\cdot512000}{12}=\frac{20480000}{12}=1706666{,}6667\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • Distância à fibra mais externa (máxima tensão): y=\dfrac{h}{2}=\dfrac{80}{2}=40\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo numérico da tensão normal máxima \sigma_{\text{máx}}á.
  • Aplicando \sigma_{\text{máx}}=\dfrac{M_{\text{máx}}\,y}{I}áá:
    \sigma_{\text{máx}}=\frac{600000\cdot40}{1706666{,}6667}=\frac{24000000}{1706666{,}6667}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.á
  • Calculando:
    \sigma_{\text{máx}}\approx14{,}06\\ \mathrm{N/mm^{2}}=14{,}06\\ \mathrm{MPa}.á
  • Comparação com admissível:
    \sigma_{\text{máx}}=14{,}06\\ \mathrm{MPa}\quad\text{e}\quad\sigma_{adm}=150\\ \mathrm{MPa}.á
    Conclusão provisória: a tensão de flexão está muito abaixo da admissível (ou seja, segura quanto à tração/compressão).

Passo 5

Cálculo da força cortante máxima e fórmula para tensão de cisalhamento em seção retangular.
  • Força cortante máxima para viga simplesmente apoiada com carga distribuída:
    V_{\text{máx}}=\frac{wL}{2}.á
    (O valor máximo ocorre próximo aos apoios; esse é o valor absoluto da reação interna de corte.)
  • Substituindo:
    V_{\text{máx}}=\frac{1200\cdot2{,}00}{2}=1200\\ \mathrm{N}.á
  • Fórmula geral para tensão cortante transversal numa seção qualquer:
    \tau=\frac{V\,Q}{I\,b},
    onde
    • V é a força cortante na seção ( \mathrm{N}),
    • Q é o primeiro momento de área da porção da seção que está acima (ou abaixo) da linha onde se calcula \tau (em \mathrm{mm^{3}}),
    • I é o momento de inércia da seção ( \mathrm{mm^{4}}),
    • b é a largura da seção na linha considerada (em \mathrm{mm}).
  • Para o máximo da tensão de cisalhamento em seção retangular, esse máximo ocorre no eixo neutro e pode-se usar o resultado simplificado:
    \tau_{\text{máx}}=\frac{3}{2}\,\frac{V}{A},á
    onde A=b\,h é a área da seção. (Se quiser ver por que: para retângulo, Q=b\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{h}{4}= \dfrac{b h^{2}}{8}. Substituindo em \tau=VQ/(Ib) e usando I=b h^{3}/12 chega-se a \tau_{\text{máx}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}á.)

Passo 6

Cálculo numérico da tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{máx}}á.
  • Área da seção:
    A=b\,h=40\cdot80=3200\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Aplicando a fórmula simplificada:
    \tau_{\text{máx}}=\frac{3}{2}\,\frac{V_{\text{máx}}}{A}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1200}{3200}.áá
  • Calculando:
    \frac{1200}{3200}=0{,}375\\ \mathrm{N/mm^{2}},
\tau_{\text{máx}}=\frac{3}{2}\cdot0{,}375=0{,}5625\\ \mathrm{N/mm^{2}}=0{,}5625\\ \mathrm{MPa}.á
  • Arredondando razoavelmente:
    \tau_{\text{máx}}\approx0{,}56\\ \mathrm{MPa}.á
  • Comparação com admissível:
    \tau_{\text{máx}}=0{,}56\\ \mathrm{MPa}\quad\text{e}\quad\tau_{adm}=75\\ \mathrm{MPa}.á
    Conclusão provisória: a tensão de cisalhamento também está muito abaixo da admissível (muitíssimo segura).

Passo 7

Conclusão final (síntese): ambas as tensões calculadas são muito menores que as admissíveis fornecidas, logo o perfil é seguro para a aplicação indicada quanto a flexão e cisalhamento.

Resposta

\sigma_{\text{máx}}=14{,}06\\ \mathrm{MPa}á
\tau_{\text{máx}}=0{,}56\\ \mathrm{MPa}á

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