Uma viga de madeira (Pinus) tem seção retangular com 100 mm de base e 230 mm de altura, e é utilizada para suportar um guincho no teto de um galpão agrícola. A viga tem um vão de 4,00 m e está apoiada nas extremidades. O guincho, ao levantar um motor com massa igual a 1500 kg , aplica uma força concentrada no centro da viga. Calcule:
A tensão normal máxima na viga ( \sigma_{\text {máx }}á ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Seção transversal retangular da viga:
    • base b = 100\\ \text{mm}.
    • altura h = 230\\ \text{mm}.
  • Vão da viga (simplesmente apoiada nas extremidades): L = 4{,}00\\ \text{m}.
  • Massa levantada pelo guincho (força concentrada no centro): m = 1500\\ \text{kg}.
  • A tarefa: calcular a tensão normal máxima na viga, isto é \sigma_{\text{máx}}á.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Quando uma viga simplesmente apoiada recebe uma carga concentrada P no meio do vão, o momento fletor máximo ocorre no centro e vale
M_{\text{máx}}=\frac{P\,L}{4}.á
  • Aqui M_{\text{máx}}á é o momento em \text{N}\cdot\text{m}, P é a força em \text{N}, e L é o vão em \text{m}.
  • A tensão normal máxima devido à flexão (teoria das vigas – fórmula de flexão) na fibra mais distante da fibra neutra é
\sigma_{\text{máx}}=\frac{M_{\text{máx}}\,c}{I}.áá
  • Onde c é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante (metade da altura para seção retangular), e I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro.
  • Para uma seção retangular (base b, altura h) o momento de inércia (por unidade de comprimento) é
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
  • Aqui I tem unidade \text{m}^4 se b e h estiverem em metros.
Vou aplicar essas fórmulas convertendo as medidas para o SI (metros, newtons).

Passo 3

Calcular a força concentrada P (peso do motor):
P = m\,g,
onde g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2}. Substituindo:
P = 1500\cdot 9{,}81 = 14715\\ \text{N}.

Passo 4

Calcular o momento fletor máximo no centro:
M_{\text{máx}}=\frac{P\,L}{4}=\frac{14715\cdot 4{,}00}{4}=14715\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.á
Observação rápida: por causa de L=4{,}00\\ \text{m} e divisão por 4, o valor ficou igual a P em \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 5

Converter dimensões da seção para metros e calcular c e I.
  • Converter: b=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m},\qquad h=230\\ \text{mm}=0{,}230\\ \text{m}.
  • Distância até a fibra extrema: c=\frac{h}{2}=\frac{0{,}230}{2}=0{,}115\\ \text{m}.
  • Momento de inércia da seção retangular: I=\frac{b\,h^{3}}{12}=\frac{0{,}100\cdot(0{,}230)^{3}}{12}.Calcular passo a passo: (0{,}230)^{2}=0{,}0529,\qquad (0{,}230)^{3}=0{,}012167,
b\,h^{3}=0{,}100\cdot 0{,}012167=0{,}0012167,
I=\frac{0{,}0012167}{12}=0{,}0001013916666\\ \text{m}^{4}.

Passo 6

Calcular a tensão de flexão máxima usando \sigma_{\text{máx}}=\dfrac{M_{\text{máx}}\,c}{I}áá.
  • Primeiro o numerador: M_{\text{máx}}\,c = 14715\cdot 0{,}115 = 1692{,}225\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.á
  • Agora dividir por I: \sigma_{\text{máx}}=\frac{1692{,}225}{0{,}0001013916666}\\ \text{Pa}\approx 16691222{,}7\\ \text{Pa}.á
  • Converter para \text{MPa} (1 MPa = 10^{6} Pa): \sigma_{\text{máx}}\approx 16{,}69\\ \text{MPa}.á
Interpretação rápida e incentivo: esse valor 16{,}69\\ \text{MPa} é a magnitude da tensão na fibra extrema (a fibra superior ficará comprimida e a inferior tracionada, ou vice-versa, dependendo do sentido da força). Agora você sabe o caminho: transformar a massa em força, achar o momento máximo para a geometria do carregamento, obter I e c da seção e aplicar \sigma=M c/I. Já dá pra aplicar isso em outros exercícios com seção retangular — segue o mesmo procedimento.

Resposta

\sigma_{\text{máx}} \approx 16{,}69\\ \text{MPa}á

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