Uma viga de madeira (Pinus) tem seção retangular com 100 mm de base e 230 mm de altura, e é utilizada para suportar um guincho no teto de um galpão agrícola. A viga tem um vão de
e está apoiada nas extremidades. O guincho, ao levantar um motor com massa igual a 1500 kg , aplica uma força concentrada no centro da viga. Calcule:
A tensão normal máxima na viga (
).
A tensão normal máxima na viga (
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Seção transversal retangular da viga:
- base
. - altura
.
- base
- Vão da viga (simplesmente apoiada nas extremidades):
. - Massa levantada pelo guincho (força concentrada no centro):
. - A tarefa: calcular a tensão normal máxima na viga, isto é
.
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Quando uma viga simplesmente apoiada recebe uma carga concentrada
no meio do vão, o momento fletor máximo ocorre no centro e vale
- Aqui
é o momento em , é a força em , e é o vão em . - A tensão normal máxima devido à flexão (teoria das vigas – fórmula de flexão) na fibra mais distante da fibra neutra é
- Onde
é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante (metade da altura para seção retangular), e é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro. - Para uma seção retangular (base
, altura ) o momento de inércia (por unidade de comprimento) é
- Aqui
tem unidade se e estiverem em metros.
Vou aplicar essas fórmulas convertendo as medidas para o SI (metros, newtons).
Passo 3
Calcular a força concentrada
(peso do motor):
onde
. Substituindo:
Passo 4
Calcular o momento fletor máximo no centro:
Observação rápida: por causa de
e divisão por 4, o valor ficou igual a
em
.
Passo 5
Converter dimensões da seção para metros e calcular
e
.
- Converter:
- Distância até a fibra extrema:
- Momento de inércia da seção retangular:
Calcular passo a passo:
Passo 6
Calcular a tensão de flexão máxima usando
.
- Primeiro o numerador:
- Agora dividir por
: - Converter para
(1 MPa = Pa):
Interpretação rápida e incentivo: esse valor
é a magnitude da tensão na fibra extrema (a fibra superior ficará comprimida e a inferior tracionada, ou vice-versa, dependendo do sentido da força). Agora você sabe o caminho: transformar a massa em força, achar o momento máximo para a geometria do carregamento, obter
e
da seção e aplicar
. Já dá pra aplicar isso em outros exercícios com seção retangular — segue o mesmo procedimento.