Uma viga de madeira (Pinus) tem seção retangular com 100 mm de base e 230 mm de altura, e é utilizada para suportar um guincho no teto de um galpão agrícola. A viga tem um vão de 4,00 m e está apoiada nas extremidades. O guincho, ao levantar um motor com massa igual a 1500 kg , aplica uma força concentrada no centro da viga. Calcule:
A tensão de cisalhamento máxima na viga ( \tau_{\text {máx }}á ).

Passo 1

O enunciado pede a tensão de cisalhamento máxima na viga quando um guincho aplica uma carga concentrada no centro. Dados fornecidos:
  • seção transversal retangular com base b=100\\ \text{mm} e altura h=230\\ \text{mm} (peguei esses valores do enunciado);
  • vão da viga L=4,00\\ \text{m} (apoiada nas extremidades);
  • massa levantada m=1500\\ \text{kg} (peguei do enunciado);
  • a força concentrada atuando no centro é o peso do motor, isto é P = m g.
O que se pede:
  • calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{máx}}á na viga.

Passo 2

Converter massa em força (peso). Aqui vou usar g=9,81\\ \text{m/s}^2. A força concentrada é
P = m g = 1500\cdot 9,81 = 14715\\ \text{N}.

Passo 3

Determinar o esforço cortante máximo interno V_{\text{máx}}á na seção. Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada P aplicada no meio do vão, as reações nas extremidades valem P/2 cada. O esforço cortante ao longo da viga, imediatamente à esquerda ou à direita da carga central, tem magnitude
V_{\text{máx}}=\frac{P}{2}.á
Substituindo:
V_{\text{máx}}=\frac{14715}{2}=7357{,}5\\ \text{N}.á

Passo 4

Apresentar a fórmula de tensão de cisalhamento para seção retangular e derivação curta (didática).
A tensão de cisalhamento transversal em uma seção é dada pela fórmula geral
\tau(y)=\frac{V\,Q(y)}{I\,t(y)},
onde:
  • V é o esforço cortante na seção (em N);
  • Q(y) é o primeiro momento de área da parte da seção situada a um lado da linha onde se calcula \tau (em \text{mm}^3 se b,h estão em mm);
  • I é o momento de inércia geométrico da seção em relação ao eixo neutro (em \text{mm}^4);
  • t(y) é a espessura da seção na posição considerada (para uma seção retangular t=b constante).
Para a tensão máxima de cisalhamento em seção retangular (ocorre no eixo neutro, y=0) tem-se:
  • área acima do eixo neutro: A' = b\cdot \dfrac{h}{2};
  • centroide dessa área a uma distância \bar{y}=\dfrac{h}{4} do eixo neutro;
  • portanto Q = A'\bar{y}= b\cdot \dfrac{h}{2}\cdot \dfrac{h}{4} = \dfrac{b h^2}{8}.
    O momento de inércia da reta retangular em torno do eixo neutro é
I=\frac{b h^3}{12}.
Aplicando \tau_{\text{máx}}=\dfrac{VQ}{I b}á (aqui t=b) e substituindo Q e I:
\tau_{\text{máx}}=\frac{V\cdot \dfrac{b h^2}{8}}{\dfrac{b h^3}{12}\cdot b}á
fazendo as simplificações corretamente (o b do t fica no denominador) chega-se à forma conhecida
\tau_{\text{máx}}=\frac{3}{2}\,\frac{V}{A} \quad\text{ou}\quad \tau_{\text{máx}}=\frac{3V}{2bh},áá
onde A=b h é a área da seção. Esta fórmula é muito usada porque dá diretamente a tensão de cisalhamento máxima para seção retangular.

Passo 5

Calcular numericamente \tau_{\text{máx}}á. Primeiro a área da seção (usando mm para obter \tau em \text{N/mm}^2):
A = b h = 100\cdot 230 = 23000\\ \text{mm}^2.
Agora aplicar a fórmula \tau_{\text{máx}}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V_{\text{máx}}}{A}áá:
\tau_{\text{máx}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{7357{,}5}{23000} = \frac{11036{,}25}{23000} \approx 0{,}4807\\ \text{N/mm}^2.á
Convertendo para unidades usuais:
\tau_{\text{máx}}\approx 0{,}4807\\ \text{MPa}=480700\\ \text{Pa}.á

Resposta

\tau_{\text{máx}}=0,4807\\ \text{N/mm}^2á (aprox. 0,481\\ \text{MPa})

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