Uma viga de madeira (Pinus) tem seção retangular com 100 mm de base e 230 mm de altura, e é utilizada para suportar um guincho no teto de um galpão agrícola. A viga tem um vão de
e está apoiada nas extremidades. O guincho, ao levantar um motor com massa igual a 1500 kg , aplica uma força concentrada no centro da viga. Calcule:
A tensão de cisalhamento máxima na viga (
).
A tensão de cisalhamento máxima na viga (
Passo 1
O enunciado pede a tensão de cisalhamento máxima na viga quando um guincho aplica uma carga concentrada no centro. Dados fornecidos:
- seção transversal retangular com base
e altura (peguei esses valores do enunciado); - vão da viga
(apoiada nas extremidades); - massa levantada
(peguei do enunciado); - a força concentrada atuando no centro é o peso do motor, isto é
.
O que se pede:
- calcular a tensão de cisalhamento máxima
na viga.
Passo 2
Converter massa em força (peso). Aqui vou usar
. A força concentrada é
Passo 3
Determinar o esforço cortante máximo interno
na seção. Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada
aplicada no meio do vão, as reações nas extremidades valem
cada. O esforço cortante ao longo da viga, imediatamente à esquerda ou à direita da carga central, tem magnitude
Substituindo:
Passo 4
Apresentar a fórmula de tensão de cisalhamento para seção retangular e derivação curta (didática).
A tensão de cisalhamento transversal em uma seção é dada pela fórmula geral
A tensão de cisalhamento transversal em uma seção é dada pela fórmula geral
onde:
-
é o esforço cortante na seção (em N); -
é o primeiro momento de área da parte da seção situada a um lado da linha onde se calcula (em se estão em mm); -
é o momento de inércia geométrico da seção em relação ao eixo neutro (em ); -
é a espessura da seção na posição considerada (para uma seção retangular constante).
Para a tensão máxima de cisalhamento em seção retangular (ocorre no eixo neutro,
) tem-se:
- área acima do eixo neutro:
; - centroide dessa área a uma distância
do eixo neutro; - portanto
.
O momento de inércia da reta retangular em torno do eixo neutro é
Aplicando
(aqui
) e substituindo
e
:
fazendo as simplificações corretamente (o
do
fica no denominador) chega-se à forma conhecida
onde
é a área da seção. Esta fórmula é muito usada porque dá diretamente a tensão de cisalhamento máxima para seção retangular.
Passo 5
Calcular numericamente
. Primeiro a área da seção (usando mm para obter
em
):
Agora aplicar a fórmula
:
Convertendo para unidades usuais: