1. A oitenta gramas de latão, calor específico 0,092 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, a 292^{\circ} \mathrm{C}, é adicionado 200 g de água, calor específico 1 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, a 14^{\circ} \mathrm{C}, em um tanque isolado de capacidade calorífica desprezível. Qual a temperatura final do sistema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Massa do latão: m_{\text{latão}} = 80\\ \mathrm{g}ã.
  • Calor específico do latão: c_{\text{latão}} = 0,092\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})ã.
  • Temperatura inicial do latão: T_{\text{latão}} = 292^{\circ}\mathrm{C}ã.
  • Massa da água: m_{\text{água}} = 200\\ \mathrm{g}á.
  • Calor específico da água: c_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{água}} = 14^{\circ}\mathrm{C}á.
  • O sistema é isolado (tanque isolado, capacidade térmica desprezível) — portanto não há troca de calor com o meio exterior.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura final de equilíbrio térmico do sistema, que vou chamar de T_f.

Passo 2

Conceitos usados (explicação didática e simples).
  • Calor específico: o calor específico c de uma substância diz quanto de calor (energia térmica) é preciso para elevar em 1^{\circ}\mathrm{C} a temperatura de 1\\ \mathrm{g} dessa substância. Unidade aqui: \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Quantidade de calor trocada por uma massa m ao mudar de temperatura segue a fórmula
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é o calor (em calorias), m a massa (em gramas), c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura ( \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}). Explicando as variáveis: Q positivo significa que o corpo ganhou calor; Q negativo significa que perdeu calor.
  • Num sistema isolado, a energia térmica total se conserva: o calor perdido por corpos quentes é igual ao calor ganho por corpos frios (somando sinais isso dá zero).

Passo 3

Aplicando a conservação de energia ao nosso caso (definindo sinais de forma prática).
  • O latão está mais quente ( 292^{\circ}\mathrm{C}) e vai perder calor até atingir T_f. A quantidade de calor perdida pelo latão em módulo é
Q_{\text{latão}} = m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,(T_{\text{latão}}-T_f).ãããã
  • A água está mais fria ( 14^{\circ}\mathrm{C}) e vai ganhar calor:
Q_{\text{água}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(T_f - T_{\text{água}}).áááá
  • Como não há perda para o ambiente, o calor perdido pelo latão vai inteiro para a água. Portanto:
m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,(T_{\text{latão}}-T_f) = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(T_f - T_{\text{água}}).ãããááá
(Nessa equação usei variações sempre positivas no parêntese porque escolhi os módulos das variações: latão perde, água ganha.)

Passo 4

Resolver a equação para T_f (mostrando cada passo algébrico).
Partindo de
m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,T_{\text{latão}} - m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,T_f = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,T_f - m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,T_{\text{água}}.ãããããááááá
Agrupando os termos com T_f no mesmo lado:
m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,T_{\text{latão}} + m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,T_{\text{água}} = T_f\,(m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}} + m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}).ãããáááããáá
Isolando T_f:
T_f = \frac{m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,T_{\text{latão}} + m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,T_{\text{água}}}{m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}} + m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}}.ãããáááããáá
Explicação: é uma média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas capacidades térmicas m c de cada corpo — faz sentido físico: o corpo com maior m c domina a temperatura final.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (tudo mostrado).
Primeiro calculo as capacidades térmicas (produto m c) de cada substância:
m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}} = 80 \times 0,092 = 7,36\\ \mathrm{cal}/{}^{\circ}\mathrm{C}.ãã
m_{\text{água}}\,c_{\text{água}} = 200 \times 1 = 200\\ \mathrm{cal}/{}^{\circ}\mathrm{C}.áá
Agora calcule os termos do numerador:
m_{\text{latão}}\,c_{\text{latão}}\,T_{\text{latão}} = 7,36 \times 292 = 2149,12\\ \mathrm{cal}.ããã
m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,T_{\text{água}} = 200 \times 14 = 2800\\ \mathrm{cal}.ááá
Somando para o numerador:
\text{numerador} = 2149,12 + 2800 = 4949,12.
Denominador:
\text{denominador} = 7,36 + 200 = 207,36.
Portanto
T_f = \frac{4949,12}{207,36}.

Passo 6

Fazer a divisão e interpretar o resultado.
  • Efetuando a divisão:
T_f \approx 23,87^{\circ}\mathrm{C}.
  • Interpretação rápida (checagem de consistência): T_f está entre 14^{\circ}\mathrm{C} e 292^{\circ}\mathrm{C}, e muito mais próximo de 14^{\circ}\mathrm{C} porque a água tem capacidade térmica muito maior ( 200 contra 7,36 do latão). Isso faz sentido físico — a temperatura final tende a ficar perto da temperatura do corpo com maior m c.

Resposta

T_f \approx 23,87^{\circ}\mathrm{C}

Exercícios relacionados